Наименьшее бинарное отношение, которое рефлексивно. Алгоритм шифрования с открытым ключом

Отмечу лишь, что все элементы построенного поля могут быть записаны в виде αξ + β, α, β ∈ GF(5). Их общее количество — 25.

        1.6.          Задачи ИДЗ 2010 г.

Слова "и/или продемонстрировать на конкретных примерах" означают, что вы строите самостоятельно нетривиальные отношения (задавая их таблицами не менее 5х5, к-во "единичек"не менее 10-ти), удовлетворяющие нужным условиям. Затем выполняете с этими отношениями операции(результаты в виде таблиц) и убеждаетесь в наличии определенных свойств.

В задачах на описание поля обязательно а) построение таблиц Кэли операций; б) представление элементов степенями примитивного элемента; в) векторное представление(арифметическ вектор); г) восьмеричное или шестнадцатиричное(по содержанию варианта). Вариант №1

Доказать (и/или продемонстрировать на конкретных примерах) следующее утверждение:

1.  Если отношения ρ, σ рефлексивны, то рефлексивны и отношения ρ ∩ σ, ρ ∪ σ, ρ ◦ σ.

Выполнить операции с соответствующими матрицами. Какими свойствами обладает отношение на R xρy ⇔ x² = y²

2.  Записать список элементов множества A^NB A = {0,1,2,3} B = {0,1,2,3,4} , удовлетворяющих условиям: a) a > b;

3.  Расшифровать сообщение 428. Элементы ключа RSA e = 7, p = 23, q = 41 .

4.  Найти наименьшее положительное решение системы сравнений

5.  Показать, что многочлен f(x) = x³ + x + 1 неприводим над полем GF(2). Описать все элементы поля GF(8), полученного расширением поля GF(2) при помощи корня ξ многочлена f(x). Найти два каких-нибудь примитивных элемента этого поля. Вариант №2

1.  Доказать (и/или продемонстрировать на конкретных примерах) следующее утверждение:

Если отношения ρ, σ симметричны, то симметричны и отношения ρ ∩ σ, ρ ∪ σ. Выполнить операции с соответствующими матрицами.

Какими свойствами обладают отношения на R xρy ⇔ x² + y² = 1

2.  Записать список элементов множества A^NB A = {0,1,2,3} B = {0,1,2,3,4} , удовлетворяющих условию: a + b = 3;

3.  Расшифровать сообщение 76. Элементы ключа RSA e = 7, p = 23, q = 41 .

4.Найти наименьшее положительное решение системы сравнений

5. Показать, что многочлен f(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 неприводим над полем GF(2). Описать поле GF(16), полученное расширением поля GF(2) при помощи корня ξ многочлена f(x). Является ли элемент ξ поля GF(16) примитивным? Найти минимальные многочлены элементов ξ и (ξ² + 1)⁻¹.

Вариант №3

1.  Доказать (и/или продемонстрировать на конкретных примерах) следующее утверждение:

Если отношения ρ, σ антисимметричны, то антисимметрично только отношение ρ∩σ, но не ρ ∪ σ, ρ ◦ σ. Выполнить операции с соответствующими матрицами. Какими свойствами обладают отношения на R

xρy ⇔ x · y > 1

2.  Записать список элементов множества A^NB A = {0,1,2,3} B = {0,1,2,3,4} , удовлетворяющих условиям: c) a|b;

3.  Расшифровать сообщение 637. Элементы ключа RSA e = 7, p = 23, q = 41 .

4.  Найти наименьшее положительное решение системы сравнений

5.Показать, что многочлен f(x) = x⁴ + x³ + 1 неприводим над полем GF(2). Описать все элементы поля GF(16), полученного расширением поля GF(2) при помощи корня ξ многочлена f(x). Доказать, что элемент ξ поля GF(16) примитивный. Найти минимальный многочлен элемента ξ³.

Вариант №4

Доказать (и/или продемонстрировать на конкретных примерах) следующее утверждение: Если отношения ρ, σ транзитивны, то транзитивно только отношение ρ ∩ σ, но не ρ ∪ σ, ρ ◦ σ.

Выполнить операции с соответствующими матрицами. Какими свойствами обладают отношения на R xρy ⇔ y = |x|

2.  Записать список элементов множества A^NB A = {0,1,2,3} B = {0,1,2,3,4} , удовлетворяющих условиям: d) НОД(a,b) = 1;

3.  Расшифровать сообщение 354. Элементы ключа RSA e = 7, p = 23, q = 41 .

4.  Показать, что многочлен f(x) = x⁴ + x + 1 неприводим над полем GF(2). Описать все элементы поля GF(16), полученного расширением поля GF(2) при помощи корня ξ многочлена f(x). Доказать, что элемент ξ поля GF(16) примитивный. Найти минимальный многочлен элемента ξ⁵.

Вариант №5

1.  Доказать (и/или продемонстрировать на конкретных примерах) следующее утверждение: Если отношения ρ, σ транзитивны, то транзитивно только отношение ρ∩σ, но не ρ∪σ, ρ◦σ. Выполнить операции с соответствующими матрицами. Какими свойствами обладают отношения на R

xρy ⇔ x³ + x = y³ + y

2.  Записать список элементов множества