Неопределённыё интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов. Основная лемма интегрального счисления

Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака u , второе меняет знак при изменении знака , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака u и . Разбив выражение Rsin x,cosx на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку t  cosx, ко второму подстановку - t  sin x и, наконец, к третьему – подстановку t  tgx типа. Таким образом, для вычисления интегралов типа (1) достаточно этих трёх подстановок.

•  sin axcosbx  sina bx sina bx,  sin axsin bx  cosa bx cosa bx,

•  cosaxcosbx  cosa bx  cosa bx.

Билет 5. Площадь плоской фигуры.

5.1.Площадь фигуры

В этом пункте мы дадим определение понятия «площадь фигуры». Задача о вычислении площади плоской фигуры, ограниченной кривыми линиями, является весьма актуальной. Отправной точкой считается понятие площадь треугольника. Это понятие считается известным. Для того, чтобы определить площадь многоугольника, разобьём его на треугольники, вычислим площади этих треугольников и просуммируем их. Следует доказать корректность этого определения. Это означает, что если разбить многоугольник на треугольники другим способом, то его площадь от этого не измениться. Докажем это.

►Возьмем два разбиения многоугольника на треугольники: 

Построим общее разбиение:

Получится разбиение многоугольников, которые можно «доразбить» до треугольников.

Тогда площади частей как 1-го, так и 2-го разбиения получаются, как суммы площадей маленьких треугольников из результирующего разбиения. Поэтому суммы частей 1-го и 2го разбиения.◄

Площадь многоугольника обладает следующими свойствами:

1.  Площадь любого многоугольника неотрицательна;

2.  Если A, B- многоугольники, то S A  B  S A  S B S A  B ,в частности, если S A  B  0, то S A  B  S A  S B . Это свойство называется аддитивностью площади. Из него следует, что если A B , то S A   S B  .

Пусть теперь P- ограниченная плоская фигура. Рассмотрим множество A многоугольников таких, что A P и множество B многоугольников таких, что P  B .

Множество площадей {S A } многоугольников A P ограничено сверху площадью любого многоугольника B такого, что P  B . Поэтому существует точная верхняя грань этого числового множества, supS A .

A P

Аналогично, для множества площадей {S B }многоугольников B , P  B , существует точная нижняя грань infPBS B .

Определение 5.1. Плоская фигура P называется имеющей площадь (квадрируемым множеством), если:

sup{ ( )}S A  inf{ ( )}S B  S P ,

A B                          PB

при этом общее значение этих величин называется её площадью S P .

Нетрудно заметить, что:

1.  Площадь любой квадрируемой фигуры P неотрицательна, т.к., по определению пл P.( )  inf{пл B.( )},а все S B   0. 

2.  Аддитивность площади, т.е. равенство S Р₁  Р₂   S Р ₁  S Р ₂ S Р ₁  Р₂  также имеет место для квадрируемых фигур P P₁, ₂.

►Докажем это равенство в случае, когда S Р₁  Р₂   0 

Пусть   0. Выберем многоугольники A B i_i , _i , 1,2, так, чтобы

                        

A_i  P_i  B_i , S P ₁S A _i   , S B _i  S P _i   Тогда A₁  A₂  P₁  P₂  B₁  B₂ и

4                              4

A₁  A₂  P₁  P₂, откуда S A( ₁  A₂)  S P( ₁  P₂)  0, т.е. S A( ₁  A₂)  0. 

Следовательно,

                          

S A( ₁  A₂)  S A( ₁) S A( ₂)  S(Р₁) S Р( ₂)    S P( ₁) S P( ₂) .

4    4                             2

                          

S B( ₁  B₂)  S B( ₁) S B( ₂)  S P( ₁)  S P( ₂)              S P( ₁) S P( ₂)    .

4    4                             2

Поэтому:



S P( ₁) S P( ₂)  S A( ₁  A₂)  S B( ₁  B₂)  S B( ₁) S B( ₂)  S P( ₁)

2



S P( ₂) . 2

Ввиду произвольности числа  0, это означает, что P₁ P₂ имеет площадь, и

S P( ₁  P₂)  S P( ₁) S P( ₂), что и требовалось доказать. ◄

Теорема 5.1. Пусть P- плоская фигура, {R}- множество квадрируемых фигур

R R,  P Q,{ }- множество квадрируемых фигур и если sup{ ( )}S R  inf{ ( )},S Q                                                       то P-

RP                          P Q

квадрируемая фигура, причем её площадь равна общему значению этих величин.

►Для доказательства достаточно для произвольного   0 выбрать сначала



квадрируемые фигуры R Q,         так, чтобы R  P  Q иS Q( ) S R( )  ₂ . Затем выберем

                   

многоугольники A  , и В A  R  P  Q  B так, что S R( ) S A( )  , ( )S B  S Q( )                                                                                                      ,

4                       4

  

тогда    S B( )S A( )          .

4    2    2

Таким образом, для фигуры P можно выбрать многоугольники A и B так, что A P  B и площади A и B столь угодно близки, что и означает квадрируемость P .◄

5.2.Определение интеграла.

Для дальнейшего потребуется понятие разбиения отрезка.

Определение 5.2. Точки x₀  a  x₁  ... x_n1  x_n  b задают разбиение отрезка a;^b.

Для краткости будем обозначать разбиение буквой T .

Обозначим x_i  x_i1  x_i ,i  0,1,...,n 1.

Определение 5.3. Наибольшее из чисел

x_i ,i  0,1,...,n1 называется диаметром разбиения T и обозначается d(T).

Определение 5.4. Если произвольным образом выбрать точки _i ,_i ^x_i ;x_i1 ,i  0,1,...,n 1, то получится разбиение T с отмеченными точками _i ,i  0,1,...,n 1.

Иногда, для краткости, будем обозначать набор точек ₀ ,₁,...,_n1 символом .

Определение 5.5. Пусть функция f (x) определена на отрезке a;^b, и пусть задано

разбиение T этого отрезка с отмеченными точками . Интегральной суммой называется величина iⁿ^0¹ f (_i )x_i .

Для обозначения интегральной суммы будем использовать символ ( f (x),T,), или просто .

                                                                                                  Для      неотрицательной      функции                                                                               f (x)

интегральная сумма ( f (x),T,) представляет собой     просто            площадь            ступенчатого многоугольника, составленного из прямоугольников с основаниями x_i , имеющих высоты, равные f (_i ) .

Определение 5.6. Пусть существует число I  R такое, что для любого  0 существует число ()  0 такое, что для любого разбиения T отрезка a;b,

удовлетворяющего условию d T( ) , и для любого выбора точек  выполняется

n1

неравенство  f (_i )x_i  I. Тогда функция f (x) называется интегрируемой на

i0

отрезке a;b, а число I называется ее интегралом по отрезку