Понятие множества, виды множеств, операции над ними, парадоксы теории. Закон поглощения пустого множества

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА, ВИДЫ МНОЖЕСТВ,

ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ, ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним словом. Совокупность документов называют архивом; собрание музыкантов — оркестром; собрание книг — библиотекой. Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в одну единую совокупность является понятие множества. Это понятие не определяется, подобно понятиям точки, числа, и является первичным.

Под множеством понимают любую мыслимую совокупность элементов. Множество считается заданным, когда про каждый объект можно однозначно сказать: принадлежит он множеству или нет. В большинстве случаев множества заданы.

Различают конечные, бесконечные и пустые множества. Пустое — это множество не содержащее элементов. Например, множество стульев в аудитории — конечно, множество точек на прямой — бесконечно, множество говорящих рыб — пусто.

Множество можно иногда задавать перечислением его элементов. Например: множество стран на земном шаре задается их списком в географическом атласе, множество учеников в классе — их списком в классном журнале. Если множество задано списком, то названия всех элементов множества записывают в фигурные скобки, разделяя запятой. Например: если множество С состоит из трех элементов: 1, 9 и –4, то это записывают так: С ={1, 9, –4}.

Не все множества можно задавать перечислением. Если множество содержит бесконечно много элементов, то перечислить их невозможно. Множество можно задать, указав некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называют характеристическим свойством множества. Например: множество {2, 4} может быть задано как множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1 < х < 5, или как множество корней квадратного уравнения х² – 6х + 8 = 0, или другим описанием.

Множество элементов обладающих характеристическим свойством записывают так:

А = {х: –3 < х < 4} означает, что множество А состоит из всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам –3 < х < 4.

При помощи операций над множествами можно получать новые множества. Операции над множествами:

1.   Объединение {1, 2, 3, 4} È {2, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. Объединение (сумма) множеств — это новое множество, содержащее все элементы складываемых множеств.

2.   Пересечение {1, 2, 3, 4} Ç {2, 4, 5} = {2, 4}. Пересечение множеств — это новое множество, содержащее все общие элементы пересекаемых множеств.

3.   Разность {1, 2, 3, 4} \ {2, 4, 5} = {1, 3}. Разность множеств — это новое множество, содержащее все элементы уменьшаемого множества отличные от элементов вычитаемого.

Операции над множествами могут применяться последовательно, например, симметрическая разность А ∆ В = (А È В) \ (А Ç В). В нашем случае, {1, 2, 3, 4} ∆ {2, 4, 5} = {1, 3, 5}.

Справедливы следующие законы:

Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В — подмножество А, и пишут . Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество Æ и само себя. Пустое множество является подмножеством любого множества.

В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А\В называют дополнением множества В во множестве А. Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов во множестве прямоугольников является множество всех прямоугольников с неравными сторонами. Разность множеств используется при решении уравнений с переменными в знаменателе.

Теория множеств была изобретена Кантором в конце XIX века, однако