Последовательность. Набор из элементов любой природы, занумерованный натуральными числами

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Это нужно знать

Последовательность — набор из элементов любой природы, занумерованный натуральными числами. Например, январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь — последовательность месяцев; Михаил I, Алексей, Фёдор III, Иван V, Пётр I, Пётр II, Анна, Иоанн VI, Елизавета, Пётр III, Павел I, Александр I, Николай I, Александр II, Александр III, Николай II — последовательность русских царей из рода Романовых; 1, 4, 9, 16, 25, … — последовательность квадратов натуральных чисел.

В математике изучают числовые последовательности.

Числовые последовательности задаются описанием, рекуррентно, аналитически. Например, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, … — числовая последовательность приближённых значений  с увеличивающейся точностью (задана описанием); , ,  — числа Фибоначчи (задана рекуррентно);  — последовательность нечётных чисел (задана аналитически).

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее последующий член, начиная со второго, больше предыдущего. Например, 1, 2, 3, 4, 5, …; 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Последовательность называется убывающей, если каждый ее последующий член, начиная со второго, меньше предыдущего. Например, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …; –1, –2, –3, –4, –5, …

Последовательность называется стационарной, если все ее члены равны друг другу. Например, 0, 0, 0, 0, …; 7, 7, 7, 7, …

Последовательность называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Например, 1, 2, 3, 4, 5, … (все члены не меньше единицы); 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … (все члены не меньше нуля).

Последовательность называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Например, –1, –2, –3, –4, –5, … (все члены не больше минус единицы); 1, 2, 1, 2, 1, 2, … (все члены не больше двух).

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Например, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел и он конечен. В противном случае, она называется расходящейся. Например, последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … сходящаяся (предел равен нулю); а последовательность 0, 1, 0, 1, 0, 1, … расходящаяся (предела не существует).

Это интересно

Легенда об изобретателе шахмат. Индийский правитель позвал к себе изобретателя шахматной игры и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за остроумную игру. Изобретатель попросил за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Царь удивился скромности просьбы своего подданного. Но выяснилось, что он не сможет выполнить просьбы. Этим количеством зерен можно покрыть весь земной шар слоем 1 сантиметр.

Одна из самых известных числовых последовательностей была придумана в 1202 году Леонардо Пизанским (Фибоначчи).«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». Число пар кроликов задается последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Последовательные отношения следующего члена этой последовательности к предыдущему дают все более точное значение «золотого сечения».

Бесконечные множества обладают удивительными свойствами. Например, их части могут содержать столько же элементов, сколько и все множество! Покажем, что всех целых чисел столько же, сколько натуральных чисел. Действительно, множество всех целых чисел  может быть упорядочено в последовательность  Тем самым каждому целому числу поставлено во взаимно однозначное соответствие натуральное число — его номер в последовательности.

Одним из первых сформулировал трудности, связанные с анализом бесконечного, Зенон Элейский. В апории «Дихотомия» утверждается невозможность движения. Для того чтобы преодолеть некоторое расстояние, человеку нужно сначала пройти половину этого расстояния, а чтобы пройти эту половину, нужно пройти половину половины, и так до бесконечности. В итоге мы придём к выводу, что человек вообще не в состоянии сдвинуться с места, так как всегда можно поставить перед ним условие пройти половину сколь угодно малого пути. Философ Диоген в опровержение доводов Зенона молча ходил перед ним.

Это можно прочитать

О последовательностях: Вавилов В. В. и др. Задачи по математике. Начала анализа: справочное пособие, — М.: Наука, 1990.

О древнегреческих философах: http://www.astronet.ru/db/msg/1197634.

О числах Фибоначчи: http://elementy.ru/trefil/21136.

О золотом сечении: http://kvant.mccme.ru/1973/08/zolotoe_sechenie.htm.

О золотом сечении в фотографии: http://www.photoline.ru/tcomp1.htm.

О Зеноне Элейском: http://www.zenon-eleja.info.

О Диогене Синопском: http://www.alexandrmen.ru/books/tom6/6_gl_07.html.

Важно правильно писать и говорить

Апори́я, Диоге́н, Зено́н, рекурре́нтный, Фибона́ччи.

Справка

Апори́я (от греч. aporia — затруднение, недоумение, от а — отрицательная частица и poros — выход), термин, которым древнегреческие философы обозначали трудноразрешимые или неразрешимые проблемы.

Диогéн Синопский (Diogénes Sinopéus) (около 404—323 до н. э.), древнегреческий философ. Д. С. отвергал цивилизацию, в частности, государство, объявлял культуру насилием над человеческим существом и требовал, чтобы человек вернулся в первобытное состояние. Своё безразличие к морали и общественности Д. С. доводил до полного равнодушия к любым неудобствам жизни; согласно историческому анекдоту, Д. С. жил в бочке, а на предложение царя Александра Македонского исполнить