ПРОИЗВОДНАЯ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. КАСАТЕЛЬНАЯ
Рассмотрим такую задачу. Пусть нам известен закон движения движущегося вдоль прямой тела . Нужно найти скорость движения тела в момент времени t.
Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M (см. рис.). Дадим аргументу t приращение Δt и рассмотрим ситуацию в момент времени t + Δt. Координата тела стала другой, оно будет находиться в точке P. Значит, за время Δt тело переместилось из точки M в точку P, т. е. прошло путь MP. Обозначим этот путь Δs.
Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени :
.
А что такое скорость в момент времени t (ее называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени при условии, что Δt выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что . Это значит, что . Подводя итог решению задачи, получаем
.
Решение задачи привело к математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т. е.:
а) присвоить ей новый термин;
б) ввести для нее обозначение;
в) исследовать свойства новой модели.
Функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел . Величина этого предела называется производной функции в точке и обозначается.
Найдем производные следующих функций по определению:
1. Вычислите производную функции .
, , .
Ответ: .
2. Вычислите производную функции .
, , .
Ответ: .
3. Вычислите производную функции .
, .
.
Ответ: .
Частный случай |
||
,
,
.
4. Найдите производную функции .
.
5. Найдите производную функции .
.
6. Найдите производную функции .
.
Касательные к графику функции
Пусть дана кривая (см. рис.), на ней выбрана точка M. Возьмем ещё одну точку этой кривой — точку P. Проведем секущую MP. Далее будем приближать точку P к точке M. Секущая MP будет поворачиваться вокуруг точки M. Предельное положение секущей называют касательной к кривой в точке M.
Пусть через точку , в которой функция дифференцируема, требуется провести касательную, ее уравнение , где k — угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла ее наклона к оси абсцисс, b — ордината точки пересечения с осью Oy.
Уравнение касательной, проходящей через заданную точку , таково: . Но как «увидеть» это уравнение, в чём его геометрический смысл? Во-первых полезно убедиться, что это уравнение прямой. Перепишем уравнение в виде . Таким образом, переменная y линейно зависит от x, следовательно, точки с координатами , удовлетворяющими уравнению, лежат на прямой. Эта прямая проходит через точку , так как при . Ее угловой коэффициент равен , тангенс угла наклона секущей . Поэтому при мы получим производную функции в точек по самому ее определению: . Значит, наша прямая — касательная.
7. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку графика с абсциссой 1.
Решение:
, , .
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
.
Ответ: .
8. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку графика с абсциссой .
, , .
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
.
Ответ: .
См. ридер «Производные и интегралы».
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.