Производная. Правила дифференцирования. Касательная. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента

ПРОИЗВОДНАЯ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. КАСАТЕЛЬНАЯ

Рассмотрим такую задачу. Пусть нам известен закон движения движущегося вдоль прямой тела . Нужно найти скорость движения тела в момент времени t.

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M (см. рис.). Дадим аргументу t приращение Δt и рассмотрим ситуацию в момент времени t + Δt. Координата тела стала другой, оно будет находиться в точке P. Значит, за время Δt тело переместилось из точки M в точку P, т. е. прошло путь MP. Обозначим этот путь Δs.

Нетрудно найти среднюю скорость  движения тела за промежуток времени :

.

А что такое скорость  в момент времени t (ее называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени  при условии, что Δt выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что . Это значит, что . Подводя итог решению задачи, получаем

.

Решение задачи привело к математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т. е.:

а) присвоить ей новый термин;

б) ввести для нее обозначение;

в) исследовать свойства новой модели.

Функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел . Величина этого предела называется производной функции в точке  и обозначается.

Найдем производные следующих функций по определению:

1. Вычислите производную функции .

, , .

Ответ: .

2. Вычислите производную функции .

, , .

Ответ: .

3. Вычислите производную функции .

, .

.

Ответ: .

Таблица производных

Правила дифференцирования

,

,

.

4. Найдите производную функции .

.

5. Найдите производную функции .

.

6. Найдите производную функции .

.

Касательные к графику функции

Пусть дана кривая (см. рис.), на ней выбрана точка M. Возьмем ещё одну точку этой кривой — точку P. Проведем секущую MP. Далее будем приближать точку P к точке M. Секущая MP будет поворачиваться вокуруг точки M. Предельное положение секущей называют касательной к кривой в точке M.

Пусть через точку , в которой функция  дифференцируема, требуется провести касательную, ее уравнение , где k — угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла ее наклона к оси абсцисс, b — ордината точки пересечения с осью Oy.

Уравнение касательной, проходящей через заданную точку , таково: . Но как «увидеть» это уравнение, в чём его геометрический смысл? Во-первых полезно убедиться, что это уравнение прямой. Перепишем уравнение в виде . Таким образом, переменная y линейно зависит от x, следовательно, точки с координатами , удовлетворяющими уравнению, лежат на прямой. Эта прямая проходит через точку , так как  при . Ее угловой коэффициент равен , тангенс угла наклона секущей . Поэтому при  мы получим производную функции  в точек  по самому ее определению: . Значит, наша прямая — касательная.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку графика с абсциссой 1.

Решение:

,        ,     .

Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

.

Ответ: .

8. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку графика с абсциссой  .

,        ,              .

Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

.

Ответ: .

См. ридер «Производные и интегралы».