Оценка и прогнозирование надежности рельсов

1.  Оценка и прогнозирование надежности рельсов.

1.1. Определение параметров нормального распределения.

         Нормальное распределение является двухпараметрическим: заданием параметров Т_ср и σ_t полностью определяется распределение.

         Данные от отказов рельсов на некотором участке пути представляют собой вариационный ряд случайных чисел наработки до отказа (таблица 1).

Параметры отказов рельсов.

Таблица 1

Наработка ti, млн. т брутто	Частота R (ti) шт/км	Частость F(ti) = R(ti)/80	Квантиль Upi
306	0,64	0,008	2,41
469	1,1	0,01375	2,33
631	1,7	0,02125	2,05
791	2,22	0,02775	1,88
942	3,72	0,0465	1,65
1104	5,72	0,0715	1,48

Квантиль U_p: определяются по значениям частости F(t_i) с использованием специальных таблиц.

F(t_i) = R(t_i)/80

F₁ = 0,64/80 = 0,008

F₂ = 1,1/80 = 0,01375

F₃ = 1,7/80 = 0,02125

F₄ = 2,22/80 = 0,02775

F₅ = 3,72/80 = 0,0465

F₆ = 5,72/80 = 0,0715

1 – 0,008 = 0,992

1 – 0,01375 = 0,98625

1 – 0,02125 = 0,97875

1 – 0,02775 = 0,97225

1 – 0,0465 = 0,9535

1 – 0,0715 = 0,9285

         Запишем для каждой наработки t_i уравнения:

Т_ср – 2,41σ_t = 306

Т_ср – 2,33σ_t = 469

Т_ср – 2,05σ_t = 631

Т_ср – 1,88σ_t = 791

Т_ср – 1,65σ_t = 942

Т_ср – 1,48σ_t = 1104

         Складывая левые и правые части уравнения, получим:

6Т_ср – 11,8σ_t = 4243

Умножая левую и правую часть уравнений на квантили, получим новую систему уравнений:

2,41Т_ср – 5,81σ_t = 737,46

2,33Т_ср – 5,43σ_t = 1092,77

2,05Т_ср – 4,2σ_t = 1293,55

1,88Т_ср – 3,53σ_t = 1487,08

1,65Т_ср – 2,72σ_t = 1554,3

1,48Т_ср – 2,19σ_t = 1633,92

         Также сложим левую и правую часть уравнений:

6Т_ср – 11,8σ_t = 4243

11,8Т_ср – 23,88σ_t = 7799,08

         Решим данную систему уравнений:

Т_ср = (4243 + 11,8σ_t)/6

1,97(4243 + 11,8σ_t) – 23,88σ_t = 7799,08

8358,71 + 23,25 σ_t – 23,88σ_t = 7799,08

0,63σ_t = 559,63

σ_t = 888,3

Т_ср = (4243 + 11,8 * 888,3)/6 = 2454,16

σ_t = 888,3 мин. т. брутто

Т_ср = 2454,16 мин. т. брутто

         Оценка доверительных границ (95%) найденных значений параметров Т_ср и σ_t производится по формуле:

Т_ср (max/min) = Т_ср ± 2σ (Т_ср)

σ_t (max/min) = σ_t ± 2σ (σ_t)

σ² (Т_ср²) = σ_t²/n f₂ (k)

σ² (σ_t²) = σ_t²/n f₃ (k)

k = (Т_ср – t_r)/t

         где k – коэффициент усечения выборки, n – количество обследуемых рельсов на данном участке

k = (2454,16 – 1104)/888,3 = 1,5

f₂ (1,5) = 33,34  f₃ (1,5) = 11,55

σ (Т_ср) = σ_t √f₂(k)/n = 888,3 √33,34/2400 = 104,7 млн. т. брутто

σ (σ_t) = σ_t √f₃(k)/n = 888,3 √11,55/2400 = 61,6 млн. т. брутто

Т_ср (max/min) = 2454,16 ± 2 * 104,7

σ_t (max/min) = 888,3 ± 2 * 61,6

Т_ср (max/min) = 2663 …. 1222 млн. т. брутто

σ_t (max/min) = 1011,5 …. 765,1 млн. т. брутто

1.2. Прогнозирование отказов рельсов.

         Рассмотрим методику прогнозирования отказов рельсов с использованием модели нормального распределения долговечности.

         Определим квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности F(t_i), по формуле:

Up_i = (t_i - Т_ср)/ σ_t

Up₁ = (2454,16 - 100)/ 888,3 = 2,65

Up₂ = (2454,16 - 200)/ 888,3 = 2,53

Up₃ = (2454,16 - 300)/ 888,3 = 2,42

Up₄ = (2454,16 - 400)/ 888,3 = 2,31

Up₅ = (2454,16 - 500)/ 888,3 = 2,2

Up₆ = (2454,16 - 600)/ 888,3 = 2,08

Up₇ = (2454,16 - 700)/ 888,3 = 1,97

Up₈ = (2454,16 - 800)/ 888,3 = 1,86

Up₉ = (2454,16 - 900)/ 888,3 = 1,75

Up₁₀ = (2454,16 - 1000)/ 888,3 = 1,64

         Зная квантиль Up_i определяем вероятность F(t_i), с использованием табулированной функции F₀(x).

	F0 ((Тср – tr)/t) F0 (Тср / σt)

 

F(t_i) = 1 -

F(t₁) = 1 - F₀ (2,65) / F₀ (2,76) = 1 – 0,995975/0,997110 = 0,0011

F(t₂) = 1 - F₀ (2,53) / F₀ (2,76) = 1 – 0,994297/0,997110 = 0,0028

F(t₃) = 1 - F₀ (2,42) / F₀ (2,76) = 1 – 0,992240/0,997110 = 0,0049

F(t₄) = 1 - F₀ (2,31) / F₀ (2,76) = 1 – 0,98956/0,997110 = 0,0076

F(t₅) = 1 - F₀ (2,19) / F₀ (2,76) = 1 – 0,98574/0,997110 = 0,011

F(t₆) = 1 - F₀ (2,08) / F₀ (2,76) = 1 – 0,98124/0,997110 = 0,016

F(t₇) = 1 - F₀ (1,97) / F₀ (2,76) = 1 – 0,97588/0,997110 = 0,021

F(t₈) = 1 - F₀ (1,86) / F₀ (2,76) = 1 – 0,96856/0,997110 = 0,029

F(t₉) = 1 - F₀ (1,75) / F₀ (2,76) = 1 – 0,95994/0,997110 = 0,037

F(t₁₀) = 1 - F₀ (1,64) / F₀ (2,76) = 1 – 0,94950/0,997110 = 0,048

         Оценку суммарного выхода рельсов из расчета на один километр пути определим по формуле:

n(t_i) = n * F(t_i), где n – количество рельсов на 10 км пути

n(t₁) = 2400 * 0,0011 = 2,64

n(t₂) = 2400 * 0,0028 = 6,72

n(t₃) = 2400 * 0,0049 = 11,76

n(t₄) = 2400 * 0,0076 = 18,24

n(t₅) = 2400 * 0,011 = 26,4

n(t₆) = 2400 * 0,016 = 38,4

n(t₇) = 2400 * 0,021 = 50,4

n(t₈) = 2400 * 0,029 = 69,6

n(t₉) = 2400 * 0,037 = 88,8

n(t₁₀) = 2400 * 0,048 = 115,2

Таблица 2

Наработка tp млн. т. брутто	Квантиль (Тср – tr)/t	Вероятность F(ti)	Число отказов n(ti), шт/10км	Приращения отказов, шт
100	2,65	0,0011	2,64	-
200	2,53	0,0028	6,72	4,08
300	2,42	0,0049	11,76	5,04
400	2,31	0,0076	18,24	6,48
500	2,19	0,011	26,4	8,16
600	2,08	0,016	38,4	12
700	1,97	0,021	50,4	12
800	1,86	0,029	69,6	19,2
900	175	0,037	88,8	19,2
1000	1,64	0,048	115,2	26,4

1.3. Оценка надежности рельсов скреплений.

         Оценивая надежность скреплений различных типов в условиях нормальной эксплуатации, все элементы необходимо считать соединенными последовательно, а вероятность безотказной работы узла такой системы оценивать по формуле:

P_u(t) = Пⁿ_i=1 P_i(t),  P_i – вероятность безотказной работы i-го элемента.

         Вероятность безотказной работы элементов цепи в экстремальных ситуациях:

P_u(t) = 1 - [1 - Пⁿ_i=1 P_i (t)]²

         Для стареющих элементов в качестве распределения интервала безотказной работы используют обычно нормативное распределение:

	F0 ((Тср – tr)/t) F0 (Тср / σt)

 

P(t) = [ 1 -                           ],

где Т_ср – средняя наработка до отказа, σ_t – среднее квадратичное отклонение безотказной работы.

         Параметры Т_ср и σ_t можно оценить по методу квантилей.

         Пусть за время t_i вероятности выхода из строя элементов скреплений составит:

F_i = R_i/n

         Частота отказов элементов рельсовых скреплений типа БП-65 определена по статическим данным об отказах элементов во время эксплуатации (таблица 3 и 4). Используя эти данные, определим значение Т_ср и σ_t.