Методы решения некоторых задач, которые входят в экзаменационные билеты. Правило Лопиталя. Элементарные преобразования

Методы решения некоторых задач, которые входят в экзаменационные билеты.

Правило Лопиталя.

Кроме способов, рассмотренных выше, весьма эффективным способом вычисления пределов является правило Лопиталя, которое использует понятие производной.

Сформулируем правило Лопиталя:

Предел отношения двух бесконечно малых  или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных (если последний предел существует):

.

Правило Лопиталя можно применять в случае наличия неопределенности и.

Подчеркнем, что правило Лопиталя можно применять только к отношению двух функций и только при наличии неопределенности. Рассмотрим примеры.

1. 

Рассмотренный пример иллюстрирует тот факт, что правило Лопиталя допустимо применять несколько раз, если отношение производных также представляет собой неопределенность вида или .

2. .

Приведенные выше пределы могут быть вычислены не только по правилу Лопиталя, но и путем элементарных преобразований. Рассмотрим примеры, решение которых существенно упрощается с использованием правила Лопиталя.

3. .

4. .

5.

С помощью правила Лопиталя можно раскрывать неопределенности вида и , предварительно записав ее как частное или :

6.  .

7.  

В некоторых примерах применение правила Лопиталя бессмысленно, так как предел отношения производных или не существует, или взятие производной не меняет принципиально функцию. В этих случаях предел можно попытаться вычислить с помощью элементарных преобразований:

8.   -- предел отношения производных не существует, поскольку  не существует. Тем не менее, исходный  предел существует и вычисляется,  если в числителе и знаменателе дроби вынести за скобки множитель  :

9.  .

При вычислении предела используется теорема о том, что произведение бесконечно малой  величины  на ограниченную  есть величина бесконечно малая.

Правило Лопиталя используется также при раскрытии неопределенностей вида

. При этом предварительно необходимо применить основное логарифмическое тождество: , а затем неопределенность привести к виду

или :

.

Тогда по правилу Лопиталя:

10.

Рассмотрим пример, в котором возникает неопределенность  .

11.  

По правилу Лопиталя далее получим:

И, наконец, рассмотрим пример, где встречается неопределенность .

12. . Далее по правилу Лопиталя имеем:

.