Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора. Частный, простейший случай формулы Тейлора

Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора.

Сформулируем  теорему Тейлора:

Функция , дифференцируемая  раз в некотором интервале, содержащем точку  , может быть представлена  в виде суммы многочлена  - ой степени и остаточного члена :

где , где -- некоторое  число между и .

Эта формула позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию  в виде многочлена и одновременно позволяет оценить погрешность   , которая во многих случаях может быть сделана как угодно малой.

Частный, простейший случай формулы Тейлора при называется формулой Маклорена: , где

.

Запишем  вид формулы Маклорена  для функций 

Отметим, что в формулах для  значение -- радианная мера угла.

Приведем примеры вычисления приближенного значения приведенных функций с помощью формулы Тейлора.

Пример 1. Вычислить  с точностью .

Решение. Выразим значение угла  в радианах:

Оценим, сколько слагаемых необходимо взять для достижения заданной точности.

Погрешность данной приближенной формулы равна

, где . Избавимся от неизвестной , используя неравенство , и для погрешности получим неравенство:

.

Чтобы определить, сколько слагаемых необходимо оставить, оценим значения остаточных членов:

Величина , поэтому для достижения заданной точности достаточно взять три первых слагаемых, предшествующих :

Ответ: .

Пример 2. Вычислить с точностью .

Решение. ,

где , .

При  имеем  , так как .

Проверим, сколько слагаемых необходимо рассмотреть для достижения заданной точности.

Величина , поэтому для обеспечения требуемой точности возьмем первые пять членов разложения.