Понятия производной высших порядков. Общая формула вычисления производных высших порядков. Техника дифференцирования функций заданных параметрически

Задача 2.

Решение этой задачи требует знания понятия производной высших порядков. Напомним, что производная порядка n обозначается  или . Общая формула вычисления производных высших порядков выглядит следующим образом =.

Задача. Найти , если

Решение. Напомним, что вторая производная есть первая производная от первой производной функции:

  Найдем первую производную функции:

А теперь еще раз продифференцируем полученную функцию:

=

=.

Итак, после приведения  подобных слагаемых  имеем искомую производную:

.

Задача. Найти , если .

.

=.

=

=.

Задача 3.

Решение этой задачи требует владения техникой дифференцирования функций заданных параметрически. Применение этих правил мы покажем на решении конкретной задачи.

Задача. Найти   и   для функции, заданной параметрически уравнениями:

Решение. Первая производная функции, заданной параметрически находится  по формуле:

, где     и    , тогда

 . Чтобы вычислить вторую  производную   , представим первую производную    как некоторую функцию, заданную параметрически и возьмем от нее первую производную по переменной :

, где  , тогда

 . 

Задача. Найти   и   для функции, заданной параметрически уравнениями:  

Поскольку , , то =2t.

Тогда .

Задача 4. 

Прежде чем перейти к решению этой задачи, напомним геометрический смысл производной.

Производная в данной точке равна тангенсу угла наклона к оси Х касательной к графику функции , проведенной в этой точке.

Задача. Найти уравнение касательной и нормальной прямой для графика функции, заданной параметрически уравнениями:   

  при .

Решение.  Уравнение касательной имеет вид:

.

Нормальная прямая перпендикулярна касательной и имеет угловой коэффициент , уравнение нормали таково:

.

Вычислим координаты точки , соответствующей значению параметра :

, .

Производная  была найдена  в предыдущей задаче. Она равна .

вычислив ее значение при , получаем .

Тогда уравнение касательной имеет вид:

.

Уравнение нормали соответственно:

.

Задача 5. Найти  и для функции , заданной неявно следующим уравнением:

  в точке М(1;2).

Решение . Продифференцируем уравнение, задающее функцию, помня о том, что 

-- функция переменной  :

, 

.