Формула производной сложной функции. Формула дифференцирования частного. Метод логарифмического дифференцирования

Используя формулу производной частного, получаем

.

Далее, используя формулу производной сложной функции и соответствующие табличные производные, получаем:

=

==

=.

Задача. Найти , если .

По формуле дифференцирования частного имеем:

Приведем решение еще одного примера, все промежуточные выкладки в котором сделаны в уме.

Задача. Найти , если .

.

Задача 1г.

Для решения подобных задач используется метод логарифмического дифференцирования. Суть этого метода состоит в использовании равенства:

 .

Подобный прием применяется для нахождения производных функций вида , а так же функций представляющих собой произведение большого числа множителей.

Схему этого метода изложим сначала на примере.

Задача. Найти , если

(1)

Данная функция является сложной показательной функцией. Для ее  дифференцирования используем логарифмическую производную. Опишем процесс нахождения  производной сложной показательной функции.

Прологарифмируем равенство (1):

  Затем запишем правую часть равенства в виде произведения, применив свойство логарифмической функции:

   Продифференцируем получившееся равенство:

Выразим из последнего равенства искомую производную :

     И, наконец, подставим вместо функции   ее выражение через :

Задача.  Найти ,  если .

Прологарифмируем данное выражение:

.

Возьмем производную от правой и левой части данного соотношения:

.

Тогда  ×.