Приближенные методы решения задач математической физики. Методы коллокации, Ритца, Галеркина, конечных элементов, страница 6

Пример 1. Методом замены ядра на вырожденное найти решение уравнения

Решение. Ядро уравнения К (с, s) С (e^cs1) аппроксимируем суммой трех членов разложения К (с, s) в ряд Тейлора, т.е. положим

(8)

2 6

Тогда решение уравнения (1) будем искать в виде

с + Ст с²+ ас ^зА- Сзс

Обозначая с), 02 с ^з, 03 с , F1(s)

S ³/6, .f(T) г, находим по формулам (6) коэффициенты системы

Таким образом, имеем систему

Ее можно преобразовать к виду:

Решая ее, получим следующий результат: Ст 0,5010, съ о, 1671, —0 0422. Следовательно, приближенное решение уравнения (1) можно записать в виде

Уз (с) с— 0, 5010х о, 1671х

Точное решение интегрального уравнения: у(с) 1. Из найденного приближенного решения при с 0 5; 1 имеем

1, 0000, z(0, 5) 1, 0000, z(1) 1, 0080

т.е. расхождение с точным решением всего 0,008.

3.2 Метод Бубнова - Галеркина

Приближенное решение интегрального уравнения

и (с) .f(T) А К (с, s)u(s)ds

по методу Бубнова - Галеркина ищется так. Выбираем систему линейнонезависимых функций {рп(с)}, полную в L2(a, Ь) и ищем приближенное решение ив (с) в виде

Скрк к-=1

Подставляя (с) в интегральное уравнение, получаем невязку в следующем виде

Скрк (г) — .f(T,)

Коэффициенты СК находятся из условия ОРТОГОН&ПЬНОСТИ невязки R ко всем базисным функциям:

(R,Pi) - 0,

Коэффициенты ск (К 1, 2, ..., п) определяются из следующей линейной системы

(К = 1,2, п

Пример 2. Методом Бубнова-Гиеркина найти решение уравнения

ф) u(s)ds 1 — с ². (9)

Решение. В качестве полной системы функций на отрезке [0,1] выберем систему А (с) с ^и. Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде

Подставляя (с) вместо и(с) в уравнение (9), будем иметь невязку

Умножая ее последовательно на 1, с, с и интегрируя по с в пределах от 0 до 1 и приравнивая к НУЛЮ, найдем:

Подсчитав интегралы, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов:

о, 1188С1 о, 038632

о, 038601 о, 095702	о, 0894С3	1/4
о, 0894С2	О, 0918Сз	2/15.
Решая данную систему, получим сг или	5 2785 С)	1 6292, сз	1 2267

У2 (с) 5 2785

З .З Метод Ритца.

С помощью метода Ритца реализуется вариационный подход к построению приближенно-аналитического решения интегрального уравнения

Lu и (г) — А К (с, s)u(s)ds(10)

Данному уравнению сопоставляется функционал

Щи] (Lu, и) — 2(f, и)

для которого ищется решение экстремальной задачи

Взаимно однозначное соответствие между решениями задачи (12) с Щи] вида (11) и задачи (10) имеет место при условии симметричности и положительной определенности оператора [3]