Приближенные методы решения задач математической физики. Методы коллокации, Ритца, Галеркина, конечных элементов, страница 2

обращалась в нуль на некоторой системе точек г1, с), ..., сп отрезка [а, Ь] называемых точками коллокации, причем число таких точек должно равняться числу коэффициентов Ci в выражении (4). Тогда для определения С1, С), Сп получаем систему уравнений

            (7)

Решая эту систему относительно коэффициентов Ci, находят решение в виде аналитического выражения (4)

Пример 1. Методом коллокации решить краевую задачу [1]

 1 = 0; и(—1)

Решение. В качестве базисных функций выберем полиномы Фо (с)

 (1 — т^2к ), (К 1 2 ...), которые удовлетворяют краевым условиям.

За точки коллокации возьмем со

Ограничиваясь тремя базисными функциями, положим и = С1(1 -

Подстановка в дифференциальное уравнение дает

R(c, СЧ, 02)

В точках коллокации имеем R(co) = 0, R(C1) 0. Отсюда, получаем для определения коэффициентов Ст и С) линейную систему уравнений

                     17         117

                    1           Ст

16

решая которую находим (31 О 978 0 022. Приближенное решение имеет вид

и о, 978(1 - Р) - о, 0216с² (1с⁴ ) о, 9564 — о, 978х ² + о, 0216х⁴ .

1.1.2 Метод Ритца

В уравнении (1) предполагается, что оператор L является симметричным L L* и положительно-определенным линейным оператором в гильбертовом пространстве Н. Тогда краевая задача (1) равносильная задаче о

В общем случае линейное дифференциальное уравнение

можно записать в самосопряженном виде (9), если ввести замену переменных

       > 0, ч (с)       f(c)

Решение задачи (1)-(3) ищем в виде (4). Подставляя выражение (4) в формулу (10), получаем щи]

где Ф(С1, С), сп) - квадратичная функция переменных Ст, (32, сп . Для того, чтобы дифференцируемая функция Ф(С1 С), , сп) при некоторых значениях С1, ..., Сп имела экстремум, необходимо соблюдение для этих значений следующий условий:

                          1        п,                                           (11)

где

2q(c) [ро (с) + Сјрј (с)ј (с) 2f (с) А (с)

Система (11) является линейной относительно коэффициентов сг, С), сп , причем число уравнений равно числу неизвестных. Решив ее, найдем коэффициенты Ci(i 1, п), что позволяет затем записать решение в виде (4)

Пример 2. Методом Ритца решить краевую задачу [1]

            И.              (1 с ² и 1 = 0; и(—1)

    Решение. В качестве базисных функций выберем полиномы ро (с)           0

(1 Т2К) (К = 1,2,  которые удовлетворяют краевым условиям

Ограничиваясь тремя базисными функциями, ищем решение в виде суммы и = С1(1 Данное уравнение, где

              Р(с) 1       q(c)

является самосопряженным. Составляем для него соответствующий функЦИОН2Л

1 щи]

—1

  Заменяя и его выражением и  (31 (1 — с ² )  С2(1          получаем

1

(2С1С 4С2С ³ ) ²

—1

Частные производные можно найти дифференцированием индсг' да теграла Щи] по параметрам СГ и С):

1

4с(2СIС + с — с) ) [Ст (1 c ² )-FC2 (1 — г ⁴ дсч

—1

2(1 - c2)

1

8х ² (2 Ср 4c2c ³ ) 2(1

—1

Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений

откуда находим, что сг 0 988 С) —0 054. Подставляя найденные значения в формулу (4), получаем приближенное выражение для искомого решения

О,

934 - О,0, 054х4

1.1. З Метод Галеркина

В методе Галеркина не требуется самосопряженность оператора L. РешеНИе ищется в виде (4) и согласно этому методу невязка R Lu,n — .f должна быть ортогональна ко всем базисным функциям.

Запишем условие ортогональности

(R,Pi) cn)dc

где

Тогда для определения коэффициентов Сё имеем систему линейных алгебраических уравнений

(12)

где

pz (с) — Про dc

Пример З. Методом Галеркина решить краевую задачу [1]

            И.              (1 с ² и 1 = 0; и(—1)

    Решение. В качестве базисных функций выберем полиномы ро (с)           0