Вейвлетные пакеты. Волновые пакеты. Основные параметры - частота, масштаб и положение, страница 2

.                                                                        (14)

Функция восстанавливается из этого разложения

.

Коэффициенты  могут быть использованы для вычисления коэффициентов разложения функции  в любом пространстве , при  и , применяя операции  и  к последовательности . Обозначим коэффициенты разложения функции в пространстве  через , то есть

, при ,        (15)

Используя формулы для , можно получить следующие рекурсивные соотношения

.                                                                                        (16)

Если применить эти соотношения несколько раз, то получаться такие выражения для  при ,

,                                                                                      (17)

где - -я двоичная цифра числа .

Эта формула позволяет получить все коэффициенты  по известным , используя операции  и , не проводя вычисления по формулам (15). Если исследуемая функция  равномерно дискретизирована в  точках, то в качестве коэффициентов  (в пространстве , при ), можно использовать отсчеты функции  .

Набор  формирует библиотеку функций, с организацией являющейся следствием способа его построения.

Результаты применения операций  и  образуют двоичное дерево, с «корнем»  и «листьями» . Дерево коэффициентов вейвлетных пакетов можно для наглядности изобразить графически (рис. 1).

Рис. 1.

Номер строки указывает масштаб вейвлетных пакетов. Верхний прямоугольник соответствует пространству , нижний , где . Номер колонки определяет и частоту,  и временное положение коэффициента. Поэтому можно группировать пакеты или по положению или по частоте. В случае группирования по частоте, в строке, в одном прямоугольнике находятся коэффициенты с соседними частотами.

На рис. 1 изображен случай, когда функция определена в 8 точках, то есть задан вектор в .

Каждая строка вычисляется применением операций   или  к предыдущей строке (на рис. 1 результат применения этих фильтров обозначены s и d соответственно). Например,  получается в результате применения   к блоку , а  получается с помощью  из этого же блока.  Порядок применения фильтров при построении дерева проиллюстрирован на рис. 2. Блоки-потомки строки  образуются их общим родителем на строке , а родитель получается ими с помощью сопряженных операций  и .

Примеры базисов дискретных вейвлетных пакетов.

Из дерева коэффициентов вейвлетных пакетов можно выбрать подмножество из  коэффициентов, образующих ортонормированный базис для .

Например, в качестве элементов базиса дискретных вейвлетных пакетов можно выбрать такое подмножество , это подмножество изображено на рис. 3.

Рис. 3.

Рис. 4.