Функции многих переменных. Векторная функция скалярного аргумента. Геометрический смысл производной вектора функций

Глава 2.

Функции многих переменных.

2.1. Векторная функция скалярного аргумента.

Определение:

Определение предела:

Необходимость:

Достаточность:

Непрерывность:

непрерывна в точке

непрерывна в точке непрерывны в точке

СДЕЛАТЬ ДОМА

Производная вектора функций.

Геометрический смысл производной вектора функций.

Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Правила дифференцирования вектора функций.

скалярная форма.

векторная форма.

По теореме Ролля:

Тогда

Обобщение на n-мерное пространство.

линия в мерном пространстве.

Уравнение прямой в

2.2. n-мерное Евклидово пространство.

точка

вектор

Окрестность в n-мерном пространстве.

 

 

 

область.

Точка называется внутренней точкой области если она принадлежит области, вместе со своей окрестностью.

Точка называется граничной точкой области если в любой её окрестности есть, точки, которые принадлежат области и не принадлежат области.

Область состоящая из внутренних точек называется открытой, из граничных называется закрытой.

ограничена, если внутри которой содержаться все точки области.

сфера радиуса

Область  называется связной, если любые две точки этой области можно соединить непрерывной кривой целиком принадлежащей этой области, в противном случае называется не связная.

2.3. Функция многих (n) переменных.

Геометрический смысл функции 2-ух переменных.

Пример:

    

Неограниченная, связанная, открытая.

Предел.

По Гейне:

Пример:

Непрерывность:

непрерывна в точке

На языке приращений:

Непрерывность сложной функции многих переменных.

Теорема о непрерывности сложных функций.

непрерывна в точке

непрерывна в точке

непрерывна в точке

2.4. Свойства функций непрерывных в области.

Первая теорема Вейерштрасса.

непрерывна в замкнутой ограниченной области

Вторая теорема Вейерштрасса.

непрерывна в замкнутой ограниченной области она достигает в этой области своих наибольших и наименьших значений.

СДЕЛАТЬ ДОМА

Первая теорема Больцано-Коши.

непрерывна в связной области       точки области

Вторая теорема Больцано-Коши.

СДЕЛАТЬ ДОМА

2.5. Частная производная.

Для одной переменной.

полное приращение функции в точке

    

Для двух переменных.

          

Пример:

2.6. Дифференцируемость функций многих переменных.

дифференцируема в точке

Свойства дифференцируемости функций.

дифференцируема в точке непрерывна в точке

СДЕЛАТЬ ДОМА

Необходимое условие дифференцирования.

дифференцируема в точке

Следствие:

Достаточное условие дифференцируемости.

непрерывна в точке дифференцируема в точке

Для двух переменных:

Дифференциал сложной функции.

дифференцируема в точке

Следствие:

Пример:

Полная производная.

Производная определителя.

    

Пример:

Производная неявной функции.

Пример:

2.7. Дифференциал.

Написать дифференциал СДЕЛАТЬ ДОМА

Свойства полного дифференциала.

          

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Приложение полного дифференциала.

А) Приближенное вычисление.

Пример:

Б) Оценка погрешности.

2.8. Уравнение касательной плоскости и нормали поверхности.

         

Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Пример:

Геометрический смысл полного дифференциала функции 2-ух переменных.

2.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пример:

Теорема о равенствах смешанных производных.

В непрерывны в точке

Пусть

Рассмотрим:

         

Дифференциал высших порядков.

неизвестная переменная:

Исключение:

         

Оператор дифференцирования для функций n-переменных.

независимая переменная:

2.10. Формула Тейлора функции n-переменных.

Функции n-переменных.

дифференцируется  раз в

2.11. Локальный экстремум функции многих переменных.

Определение:

точка локального строгий экстремум.

Пример:

точка локального

Необходимое условие локального экстремума.

дифференцируема в точке локальный экстремум

 локальный

Следствие:

Достаточное условие локального экстремума.

 дифференцируема  2  раза  в  точка локального

2.12. Исследование знака 2-ого дифференциала.

Критерии Сильвестра.

Квадратичная форма:

    

Критерий Сильвестра: главные миноры.

         

матрица вторых производных.

точка

точка

Пример:

Необходимое условие:

Достаточное условие:

          

          

2.13. Условный экстремум функции многих переменных.

Пример:

Метод неопределённого множителя Лагранжа.

    

Домножим  на  и сложим  и

, Введём  

Метод неопределённых множителей Лагранжа для функций n-переменных.

Задача:

 

Пример 1:

    

Пример 2:

Наибольшее и наименьшее значение функции в области 2-ух переменных.

     замкнутая и ограниченная область.

 Критические точки

 Поведение функции на границе.

Пример:

    

 исключив  из 1-ого и 2-ого уравнения, подставим его в 3-ее.