Первообразная и неопределённый интеграл. Подынтегральная функция. Методы интегрирования

Глава 1.

Интегралы.

1.1. Первообразная и неопределённый интеграл.

называется первообразной функции на интервале если:

Свойства.

первообразная от  

По теореме Лагранжа:

Следствие:

 первообразной отпервообразная от

Неопределённый интеграл.

подынтегральная функция.

подынтегральное выражение.

Свойства.

       

       

1.2. Таблица интегралов.

1.3. Методы интегрирования.

А. Метод замены переменной.

Пример 1: 

Пример 2: 

Пример 3: 

Пример 4: 

Б. Интегрирование по частям.

                           

Пример 1: 

Пример 2: 

Пример 3:

Пример 4: 

В. Метод неопределённых коэффициентов.

1.4. Комплексные числа и действия над ними.

               

           

Тригонометрическая форма комплексного числа.

        

        

Показательная форма комплексного числа.

                   

СДЕЛАТЬ ДОМА

Следствие:

1.5. Многочлен. Разложение многочлена на множители.

корень

Любой многочлен степени не ниже первой имеет один корень действительный или мнимый.

(Безу) корень

Любой многочлен  степени имеет ровно  корней (действительных, комплексных…)

корень

корень

корень  кратности

корень  кратности

1.6. Рациональные дроби. Разложение на простейшие.

             

Пример:

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

     

Пример 1:

Пример 2:

Интегрирование простейших дробей.

    

    

Любая дробно-рациональная функция (рациональная дробь), интегрируема в элементарных функциях.

Пример:

1.7. Интегрирование тригонометрических выражений.

A)      а) Пусть  или нечётно:

СДЕЛАТЬ ДОМА

б) Пусть  или чётно:      

Пример:

Б) Рекуррентные формулы интегрирования.

а)      

б) СДЕЛАТЬ ДОМА

г)   СДЕЛАТЬ ДОМА

Пример:

 СДЕЛАТЬ ДОМА

В)

Г) Универсальная тригонометрическая подстановка.

рациональная функция.

Пример:

Д) Частный случай универсальной тригонометрической подстановки.

1.8. Интегрирование иррациональных выражений.

А) Приведение к рациональным функциям.

Пример:

Б) Интегрирование дробно-линейной иррациональности.

Пример:

В) Интегрирование иррационального многочлена.

Возьмём производную от обеих частей:

Пример:

Найдём производную и помножим на знаменатель обе части:

Тогда:

Г)

1.9. Задача, приводящая к понятию определённого интеграла (Интегралу Римана).

Задача: Площадь криволинейной трапеции.

    

    

Предел не зависит от выбора  и не зависит от :

интегральная сумма.

интегральная функция.

Теорема существования определённого интеграла.

Если функция  непрерывна на отрезке , то интеграл от неё на этом отрезке существует.

Пример:

    

1.10. Свойства определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла.

 Свойство линейности

 Свойство линейности

 Свойство монотонности

 Свойство аддитивности интеграла Римана

 Оценка интеграла мо модулю

 Теорема о среднем

СДЕЛАТЬ ДОМА

1.11. Интеграл с переменным верхним пределом.

интегрируема (ограничена) на непрерывна на  

СДЕЛАТЬ ДОМА

 непрерывна на  

 Следствие: Формула Ньютона-Лейбница.

Пример:    

1.12. Методы интегрирования при вычислении определённого интеграла.

А) Замена переменной.

Пример:    

Б) Интегрирование по частям.

Пример:

1.13. Вычисление площадей.

А)

Б)

Пример:

Элипс:

В) Площадь криволинейного сектора.

или

Пример:

1.14. Вычисление объёмов.

А) Метод паралельных сечений.

непреравна на

Пример: Объём 3-х осного элипсоида.

         

Б) Объём тела вращения.

Пример:

Лимон Ковалье.

Интеграл от симметричных функций.

Чётная:  

Нечётная:  

1.15. Длина кривой. (Длина линии).

         

длина отрезка.    

Достаточное условие спрямляемости кривой,

непрерывна на

По теореме Лагранжа следует:

Тогда:

, Что и требовалось доказать.

Пример:

А) Плоская кривая.

    

Пример:

Астроида

Б) Задание кривой.

Пример:

СДЕЛАТЬ ДОМА

В) Длина кривой в полярных координатах.

Пример:

1.16. Несобственный интеграл I-ого рода.

Если существует конечное значение , то интеграл сходится, иначе расходится.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

   СДЕЛАТЬ ДОМА  

Простейшие свойства несобственного интеграла I-ого рода.

 Свойство линейности.

 Свойство линейности.

Эти интегралы должны сходиться.

Несобственные интегралы I-ого рода от неотрицательных функций.

Для того чтобы интеграл сходился необходимо, чтобы был ограниченным.

ограничено сверху.

(I-ая теорема сравнения).

(II-ая теорема сравнения).

Если сходится один, то сходится и другой.

Пример 1:

Пример 2:

Абсолютная сходимость.

(Теорема о абсолютной сходимости).

 

 

абсолютно сходящийся, если сходится.

Если  сходится, а расходится, то условно сходящийся.

Главное значение несобственного интеграла I-ого рода.

Value principal (главное значение).

Пример:

1.17. Несобственный интеграл II-ого рода.

неограничен в окрестности точки

Пример:

 СДЕЛАТЬ ДОМА

Несобственные интегралы II-ого рода от неотрицательных функций.

(I-ая теорема сравнения).

(II-ая теорема сравнения).

сходятся и расходятся одновременно.

(Теорема о абсолютной сходимости).

Пример 1:

          непрерывна на    

Пример 2:

1.18. Интегралы, зависящие от параметра.

В ситуациях имеющих практическое значение может быть вычислен по:

Пример: