Тепломассообмен. Основные законы и механизмы переноса теплоты, импульса и вещества в материальной среде. Теплопроводность: температурное поле; гипотеза Био-Фурье; краевая задача и условия однозначности; частные случаи теплопроводности; стационарный теплообмен, страница 2

            В условиях нестационарности температурное поле представляется в виде сменяющихся во времени картин изотермических линий или поверхностей, причём каждая из картин является отображением мгновенного температурного поля.

            Согласно гипотезе Фурье максимальная плотность теплового потока через выделенную элементарную площадку  на изотерме будет направлена перпендикулярно к ней и прямопропорциональна градиенту температуры, характеризующего интенсивность изменения температуры:

                    

где расстояние между изотермическими поверхностями.

            Интенсивность изменения температуры может быть охарактеризована плотностью изотерм на некотором линейном отрезке.

            В процессе теплопроводности количество переданного тепла  пропорционально температурному градиенту и площади

Рисунок 2.1 – Схема процесса кондукции  сечения, перпендикулярного направлению распространения тепла – закон Фурье:

Математическое выражение основного закона распространения тепла теплопроводностью (закон Фурье):

гдекоэффициент теплопроводности – физический параметр вещества и характеризует способность тела или среды проводить тепло. Он определяет количество тепла, которое проходит в единицу времени через 1 м² поверхности при изменении температуры на  на 1 м «пути» теплового потока.

            Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и числено равный производной от температуры по этому направлению.

            Краевой задачей называется математическая модель теплопроводности для описания температурного поля. Эта модель включает дифференциальные уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности (краевые условия).

            В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности (уравнение Фурье-Кирхгофа) положены возможность локального термодинамического равновесия для любой макроскопической точки тела и закон сохранения энергии:количество тепла , введённое в элементарный объём из вне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии вещества:

гдеколичество тепла, введённое в элементарный объём за время

     количество тепла, которое выделилось в элементарном объёме за счёт внутренних  

               источников за время

      изменение внутренней энергии.

            Рассмотрим случай одномерного нестационарного температурного поля а так же или

            Где толщина элементарного слоя; площадь;

время  коэффициент теплопроводности.

            1) Тепловой поток (количество тепла), входящий в т. 1:

            2) Количество тепла, выходящее из т. 2:

превышение.

                               так как

Рисунок 2.2 – Схема одномерного нестационарного температурного поля

            3) Возьмём разность:

                                                                                                                                                                                                                                                                   (1)

                                                                                                                                                                                                                                                               (2)

где теплоёмкость;

              удельный вес илиплотность вещества

  объём.

            4) Приравняв (1) и (2) и, сократив их на  получим:

            5) Изменение температуры в слое для одномерного нестационарного течения:

                                                                                                                                                                                                                                                                                          (3)

где  коэффициент температуропроводности, характеризующий темп нагревания или охлаждения тела.                                                                                                                                                                                                                                         

            Величина обратная  называется тепловой инерцией тела.                                                                                                                  Формула (3) представляет собой арифметическое выражение дифференциального уравнения теплопроводности для одномерного нестационарного течения.

            6) Для трёхмерного нестационарного течения уравнение (3) имеет вид:

                                                                                                                                                                                                                          (4)

гдеоператор Лапласа.

            Решение уравнения (4) обладает свойствами суперпозиции, аналогично решению обыкновенного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Общее решение такого уравнения является суммой частных решений.

            В соответствии с правилом суперпозиции:

гдеконстанты.

            При наличии внешних источников тепла (тепловыделительные источники тепла ядерных реакторов ТВЭЛ; проводник, который омывается воздухом) дифференциальное уравнение теплопроводности для трёхмерного нестационарного переноса  тепла будет иметь вид:

где общая производительность внутренних источников тепла.

            7) Рассмотрим два случая:

а) если температурное поле стационарное, то . Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного стационарного течения будет иметь вид: