Методические указания и контрольные задания для студентов заочного факультета

Криволинейный интеграл от непрерывной в некоторой области плоскости  функции по координате  вдоль дуги плоской кусочно-гладкой кривой , расположенной в этой области, связан с рассмотренным в пункте 4.1. криволинейным интегралом по длине дуги соотношением

где - угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси . Аналогично,

, где - угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси . Очевидно, что  и .

Обычно рассматривают сумму интегралов по координате  и по координате , которая записывается в виде

                                             (22)

Криволинейные интегралы по координатам обладают теми же простейшими свойствами, что и интегралы по длине дуги. Однако в отличие от последних они зависят от выбора направления обхода кривой: если изменить направление обхода кривой, то интеграл (22) меняет знак, то есть

Для вычисления интеграла (22) пользуются одной из следующих формул:

a). если кривая задана уравнением и при перемещении из точки А в точку В  меняется от до , то

 ;                 (23)

b). если кривая задана уравнениями  и при перемещении из точки А в точку В параметр  меняется от  до , то

.            (24)

Замечание. В случае замкнутой кривой условимся брать направление обхода кривой  так, чтобы область, ограниченная этой кривой, всегда оставалась слева.

Аналогично определяются криволинейные интегралы по координатам в случае, если кривая  лежит в плоскости или и от непрерывных в некоторой пространственной области функций вдоль дуги пространственной кусочно-гладкой кривой , расположенной в этой области, то есть

.

Если кривая задана параметрическим уравнением

 , то

          (25)

4.3.   Приложения криволинейных интегралов (вычисление работы силы).

Пусть  есть переменная сила, совершающая работу  вдоль пути , и функции и непрерывны на кривой ; тогда

.                              (26)

II. Пример выполнения контрольной работы.

1.  Задание 361-370.

Дано комплексное число .

Требуется:

а) записать данное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

б) изобразить aна комплексной плоскости;

в) вычислить

г) найти все корни уравнения ;

д) вычислить произведение полученных корней;

е) составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является a.

Решение.

а) Используем формулу (3)

Получили чисто мнимое число a=0+i в алгебраической форме.

Вычислим модуль и аргумент полученного числа. По формулам (4) и (5):

- не существует, но (), следовательно .

По формуле (6) запишем тригонометрическую форму числа a:

и по формуле (9) в показательной форме:

б) Изобразим число a=0+iна комплексной плоскости (Рис.5).

Рис.5

в)  вычислим по формуле (7):

г) найдем все корни уравнения :

. Найдем все корни используя формулу (8):

д) вычислим произведение полученных корней:

е) составим квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является a:

Раз a- корень квадратного уравнения, значит и сопряженное ему комплексное число тоже будет корнем этого уравнения и, следовательно, уравнение имеет вид:

, т.е.

2.  Задание 401-410.

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями а)  и .

Решение. I способ

Рис.6

Найдем абсциссы точек A и B, решая совместно уравнения

Þ

по формуле (11):

II способ:

по формуле (14):

б) найти площадь одного лепестка кривой  (Рис.7).

Рис.7

Решение.

I способ.

Заметим, что если полярный угол φ изменяется от 0 до π, то точка на кривой обходит против часовой стрелки один лепесток; поэтому по формуле (12) для искомой площади имеем:

 II способ.

по формуле (17) имеем:

3.  Задание 411-420.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле    , предварительно изобразив на чертеже области интегрирования.

     Решение. Строим область Dпо пределам интегрирования

Рис.8

Область такова, что при вычислении внешнего интеграла по переменной  верхняя граница области D описывается двумя уравнениями

, следовательно, будем иметь

.

4.  Задание 441-450.

Найти работу, производимую силой , вдоль параболы  от точки А(0,0) до точки В(1,1).

Решение. Из формулы (26) следует, что . Так как интегрируем по параболе  и при перемещении из точки А в точку В  меняется от 0 до 1(Рис.9), получаем по формуле (23), учитывая, что :

Рис.9

III. Задания к контрольной работе.

1. Задание 361-370.

Дано комплексное число a.

Требуется:

а) записать данное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

б) изобразить aна комплексной плоскости;

в) вычислить

г) найти все корни уравнения ;

д) вычислить произведение полученных корней;

е) составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами