Электростатика. Предмет изучения. Работа в электронном поле, страница 5

                                             №7

Вычисление полей с помощью т-мы Гаусса. 1.Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Вектор напряженности поля в любой точке нормален плоскости. В симметр-х относ-но плоскости точках векторы напряженности поля совпадают по модулю и противоп-ны по направлению. Пусть внутри мысленной цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными плоскости, заключен заряд Q=σ∆S. Поток вектора E ч/з боковую поверхность цилиндрической поверхности будет отсутствовать. Для оснований цилиндра векторы E_nn совпадают с векторами E. Тогда суммарный скалярный поток векторного поля E ч/з основания цилиндра: Ф_E=2E∆S. Тогда согласно теореме Гаусса:2E∆S=σ∆S/ε_o; E=σ/2ε_o. Данный результат независим от длины цилиндра, а значит на любых расстояниях от плоскости E=const. 2.Поле двух разноименно заряженных плоскостей. Для простоты и удобства рассмотрим случай |σ₁|=|σ₂|=σ. Поле опред-ся как суперпозиция полей от каждой плоскости в отдельности. В случае двух разноименно заряженных плоскостей поле оказ-ся сосредоточенным м/у плоскостями с одинаковой напряженностью во всех точках. Для плоскостей конечных размеров заметные отклонения поля от однородности наблюдаются только вблизи краев пластин. Поле внутри плоского конденсатора при условии, если расстояние d м/у пластинами много меньше их линейных размеров (S) и без учета краевых эффектов: E = s/e_o. С учетом равенств  E=U/d, s=Q/DS и C=Q/U и с учетом диэлектрика с м/у пластинами получаем формулу плоского конденсатора C=ε_oε∆S/d. 3.Поле бесконечного однородно заряженного цилиндра радиуса R. При постоянстве поверхностной плотности σ и из соображений симметрии следует, что вектор напряженности E в любой точке должен быть направлен вдоль радиальной прямой, нормальной к оси цилиндра, а потому ее величина может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра. Поэтому и ч/з основания цилиндра поток векторов E отсутствует. Пусть дана коаксиальная данной бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса r. Поток вектора E ч/з боковую поверхность DS₂  равен E(r) DS₂. При r > R внутрь объема, стягиваемого этой поверхностью попадает заряд Q=sDS₁, где DS₁ - площадь боковой поверхности рассматриваемого заряженного цилиндра. Используем т-му Гаусса и получаем: E(r)∆S₂=σ∆S₁/ε_o, E(r)2πr=σ2πR/ε_o, E(r)= σR/ε_or. Если r<R, то стягиваемый объем не содержит зарядов, и E(r) = 0. При r » R, в непосредственной близости от поверхности заряж-го цилиндра напряженность испыт-ет скачок  E(r=R)=s/e_o. Поле отриц-но заряженного цилиндра отличается от поля полож-но заряж-го цилиндра только направлением вектора E. Пример. Два бесконечных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусов R и 2R равномерно заряжены до соответственных значений поверхностных плотностей: s₁=3s и s₂= -s. Пространство м/у цилиндрами заполнено парафином с e=2. Определить напряженность Е поля в областях I, II и III. Решение. Метод суперпозиции. Суммарное поле на расстояниях r <R от оси равно нулю. Суммарное поле на расстояниях r » R составляет E(R) = s₁/e_o. Суммарное поле на расст-х R<r<2R составляет E(r)=σ₁R/ε_or. Cуммарное поле на расстояниях r>2R определяется следующим образом: E(r>2R)=σ₁R/ε_or+ σ₂2R/ε_or=R/ε_or(3σ-2σ)= σR/ε_or.

№8

4. Поле сферической однородно заряженной поверхности радиуса R₁. Из соображений симметрии следует, что вектор напряженности  в любой точке должен быть направлен вдоль радиальной прямой и проходить через центр сферы (рис. 14). Вообразим концентрическую заданной сферу с s и радиусом R₂ и исследуем характерные области:  1)Для всех r < R₁,E₁ =0;  2)Для всех r»R₁: Е(R₁)4pR₁² = Q/e₀;  или E(R₁) = s/e₀; 3)Для всех  R₁ < r < R₂: E₂4πr²=Q₁/ε_o; E₂=Q₁/4πr²ε_o=σ/ε_o*(R₁/r)².  Для всех r » R₂: E(R₁)4πR²₂ + E(R₂)4πR²₂ =(Q₁+Q₂)/ε_oи E_∑=1/ε_oR₂²*[σ₁R₁²+ σ₂R₂²] 4) Для всех r > R₂: E₃=1/ε_or²*[σ₁R₁²+ σ₂R₂²] 5) Поле объемно заряженного шара. Для поля вне шара (r > R) результат будет такой же, что и для сферы. Для всех r < R: E(r)4πr²=ρ4πr³/3ε_o; E(r)=Qr/4πε_oR³. Внутри шара напряженность поля растет линейно с увеличением расстояния r от центра шара. Вне шара напряженность поля убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.