Электростатика. Предмет изучения. Работа в электронном поле

№1

Электростатика. Предмет изуч-я. В электростатике изуч-ся электрич-е поля неподв-х зарядов. Предполагается, что эти заряды удержив-ся в разных точках простр-ва силами неэлектр-го происх-я. Теорема Ирншоу: не существует такой конфиг-ции зарядов, которая была бы устойчива, если нет других сил, кроме сил кулоновского взаимод-я м/у зарядами системы. Неподв-х элементарных зарядов не сущ-ет, а поэтому не сущ-ет постоянных полей. Однако в большинстве явлений (в классической теории электричества) наблюд-ся не поле отдельного заряда, а суперпозиция полей многих зарядов. Вклад в это поле каждого элементарного заряда очень мал. Напряженность эл-го поля, при всем этом, опред-ся как средняя величина по некоторому физ-му объему и физ-ки малому отрезку времени. Флуктуации среднего значения напряж-ти поля весьма малы. Предметом изучения в электростатике явл-ся средние значения, поэтому существенным становится не факт неподв-ти зарядов, а постоянство во времени эл-го поля. Закон Кулона. Точная и строгая ф-ла для вектора напряженности Е эл-го поля, создав-го отдельным зарядом, имеет сложный  вид: Е= - q/4πε₀[e_r/r² + rd/cdt * (e_r/r²) + 1d²/c²dt² * e_r] (1).

Первый член: Е= - qe_r/4πε₀r² - з-н Кулона, где e_r - единичный вектор, направленный от точки наблюдения Р, где измеряется поле E (этим объясн-ся знак "-"), r - расстояние от Р до q. Любое воздействие не может распростр-ся быстрее скорости света, поэтому на поле в данный момент времени влияет только повед-е заряда в прошлом. Время запазд-я равно r/c, поэтому первое слагаемое - определяет запаздывающий закон Кулона. Этот член обратно - пропорционален второй степени расстояния. Второе слагаемое в (1) дающее поправку на запаздывание для первого члена тоже обратно - пропорционально второй степени расстояния. Величина третьей составляющей формулы (1) спадает обратно пропорц-но первой степени расстояния. Она доминирует, над 1 и 2 членами на больших расстояниях и выражает закон излучения.

№2

Работа в эл-ом поле. Силовой линией электр-го поля наз-ся линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором Е. Так как сила, действующая в электрическом поле на точечный заряд q, равна F=qE, то при перемещении заряда на dl (рис), совершается работа dA=Ddl=qEdl. Удельная работа dA’=dA/q=Edl, и  A’=⌡₍₁₎⁽²⁾Edl определяется криволинейным интегралом A’= ⌡_LEdl вдоль кривой L. Потенц-ность кулоновского поля. Ротор вектора. Поле сил наз-ся потенц-ным, если работа при перемещении в этом поле зависит лишь от нач-й и конечной точек пути и не зависит от траектории. На основ-и принципа суперпоз-и и из потенц-ти поля точечного заряда следует потенц-ть произв-го электрост-го поля. В таком поле сил работа равна нулю при перемещ-и по любому замкнутому пути. Чтобы проверить потенц-ть поля надо исследовать бесконечное число замкнутых путей, что в общем случае невозможно. Поэтому желательно найти другой - менее трудоемкий, критерий потенц-ти. Пусть имеем произвольный вектор E. Выберем некоторое направл-е и зададим его ед-й нормалью n к площади ∆S, которая ограничена малым замкнутым контуром L. Напомним, что ротором называется вектор, проекция которого на направление n определяется формулой: rot_nE=lim_∆S→0  Edl/∆S. Направл-е полож-го обхода опред-ся правилом правого винта. Ротор характеризует интенсивность “завихрения” вектора. Тогда дифференц-я формулировка потенц-ти электрост-го поля: rotE=0 (2), что явл-cя достат-м условием консерв-ти поля. В потенц-ом поле силовые линии не замкнуты. Поле можно описать градиентом некоторой потенц-й ф-ции. Градиент потенц-й ф-ции. Пусть j(x, y, z) является скалярной ф-цией точки. Градиентом j наз-ся вектор: gradj=i*dj/dx + j* dj/dy + k*dj/dz. Для выяснения смысла этого вектора, вычислим полный дифференциал функции j при перемещении dr=idx + jdy + kdz, dj= dj/dx*dx +  dj/dy*dy + dj/dz*dz=gradjdr.(3) Вектор gradj направлен перп-но поверхности с j = const (эквипотенциальной поверхности). По модулю он равен производной по пути в направлении, перп-ном поверхности j = const. Скалярный потенциал. Работа по перемещ-ю заряда в потенц-ом поле не зависит от траектории, поэтому ее можно выразить ч/з координаты концов траектории с помощью потенциала. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что rot(gradj) = 0. Поэтому уравнение (2) будет удовлетворено, если E=-gradj. Знак ”-“ показ-ет, что вектор  направлен в сторону убывания. Скалярная функция j, связанная так с напряженностью E поля, наз-ся скалярным потенциалом эл-го поля. Так как напряж-ть не может быть бесконечной, то и произв-е по координатам от потенциала должны быть конечными. А это означает, что потенциал явл-cя непрерывной функцией. Если напряж-ть можно измерить эксперимент-но, то потенциал j не имеет опред-го числового значения, и бессмысленно говорить об экспериментальном определении его значения. Из формулы (3) видно, что если к j прибавить любую постоянную, то описываемое потенциалом поле не изменится, так как произв-е по координатам от постоянной величины равны нулю. Поэтому, потенциал j заданного эл-го поля определен лишь с точностью до аддитивной постоянной. Приписывая ему любое наперед заданное значение любой одной наперед заданной точке, потенциал приобретает вполне опред-ые значения во всех других точках. Придание однозначности потенциалу называется нормировкой. Если заряд перемещается между точками 1 и 2, то удельная работа: A’=∫₍₁₎⁽²⁾Edl=∫₍₁₎⁽²⁾gradφdr, где dl=dr. Таким образом ясно, что физ-й смысл имеет не сам потенциал,  а их разность между различными точками.