Электростатика. Предмет изучения. Работа в электронном поле, страница 3

  dp

F(-)

№4

Электростатическая теорема Гаусса. Пусть точечный заряд q нах-ся  внутри объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S. Поток Ф напряженности E сквозь эту поверхность будет: Ф= EdS. Скалярный поток частиц. Единичный поток частиц: J=∆N/∆S∆t, т.е. это количество частиц прошедших через нормальную единицу поверхности за единицу времени. Иными словами, это своего рода канал через который "капают" частицы. Если умножить J на ∆t, то с ростом ∆t канал стремится стать "слитным" и выразится "струйкой" частиц и при достаточно большом ∆t можно ∆N/∆S представить как вектор. Скал-й поток векторного поля. Заменим ∆N/∆Sна вектор E. Имея поверхность S произв-й формы, получим суммарный поток (как количество векторов, пересекающих эту поверхность): lim_∆S→0∑_iE_i∆S_i = ∫_s EdS, или Ф_E =  _sEdS. В обоих случаях имеем скалярное произв-е векторов под знаком интеграла. Значит надо договориться какой поток считать полож-м, а какой отриц-м. Скалярное произв-е ẼdŜ=EdS*cosα и ясно, что знак потока определен знаком косинуса: поток положителен, если a < p/2 и поток векторов, выходящий из объема сквозь поверхность S, положителен. Для замкнутых поверхностей в качестве полож-го всегда выбирается направление в сторону внешней нормали. Это означает, что элемент поверхности dS направлен во внешнюю сторону от объема. По закону Кулона: Ẽ=1/4πε_o*q/ ř ²*ř/r.  Значит Ф_E=q/4πε_o*    _s1/r²*(ř/r)*dS(4)

Учтем ř/r*dS =(r/r)*dS*cos(r^,dS)=dS’, так как dS=dSn, где dS’ - проекция элемента dS на плоскость, перпенд-ю радиусу r. Из геометрии известно, что dΩ=dS’/r², где dΩ- телесный угол, под которым элемент площади dS’ виден из начала отсчета радиус-векторов (местонахождение точного заряда q). Тогда Ф_E=q/4πε_{o   s}dΩ. Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри ограничиваемого его объема, равен 4π,

т.е._sdΩ=4π. Тогда Ф_E=q/ε_o. (5) Если точечный заряд находится вне объема V, то поток векторов E также опред-ся формулой (4). Однако подынтегральное выражение теперь будет принимать как полож-е, так и отриц-е значения, так как если через поверхность АDВ поток положителен, то через АСВ -отрицателен и,    1/r²*(ř/r)*dS=∫_ADBdΩ - ∫_ACBdΩ=Ω_o - Ω_o=0 (6) так как поверхности АDВ и АСВ из точки 0 видны под одним и тем же углом. Объединяя результаты (5) и (6) имеем: Ф_E=    EdS=q/ε_o   - когда q нах-ся внутри объема, ограниченного S, Ф_E = 0 - когда q находится вне объема, ограниченного S. Т-ма Гаусса устан-ет матем-ю связь м/у потоком векторов напряж-ти сквозь замкнутую поверхность и зарядом находящимся в стягиваемом этой поверхн-ю объеме. Ее обобщение на систему точечных зарядов с учетом принципа суперпозиции полей E=∑_iE_i. _sEdS=1/ε_o*∑_vq_i=1/ε_oQ                            Суммирование происходит только по зарядам внутри объема. Полный заряд Q=∑_vq_i или так как Q=∫_vρdV, где ρ - объемная  плотность зарядов.   _sEdS=1/ε_o∫ρdV=1/ε_oQ.

                             №5