Ознакомление с симплексным методом и методом случайного поиска оптимальных параметров и экстремума целевой функции

Цель работы: ознакомление с симплексным  методом и методом случайного поиска оптимальных параметров и экстремума целевой функции, а также изучение свойств этих методов.

1 Исходные данные:

1.1 Целевая функция ,

1.2 Оптимальные значения параметров х₁ и х₂, рассчитанные методом Гаусса-Зейделя, при которых функция имеет локальный максимум, равны х₁=8, х₂=4, при этом значение целевой функции равно у=30,2.

2 Оптимизация методом случайного поиска

2.1 Выбираем начальную точку х₁₀= х₂₀=20.

2.2 Выбираем интервалы варьирования Δх₁=1; Δх₂=1; размер случайного вектора ρ_{сл п}=10, шаг а_{сл п}=12 (в нормированных единицах).

2.3 Определяем составляющую ξ₁  случайного вектора ξ и ее знак по таблице равномерно распределенных случайных чисел из интервала (0; 10). Начало отсчета в таблице – I случайное число. Составляющую ξ₂ находим по формуле

2.4 Находят координаты пробной точки, вычисляем значение функции у в данной и начальной точках, сравниваем их.

2.5 Далее совершаем рабочий шаг в новую начальную точку в соответствии с полученными откликами.

2.6 В точках на окружности радиусом ρ_{сл п}=10 с нормированными координатами A (x₀- ρ_{сл п}, y₀), B (x₀+ ρ_{сл п}, y₀), C (x₀, y₀- ρ_{сл п}), D (x₀, y₀+ ρ_{сл п}) вычисляем значения целевой функции для определения момента, когда во все стороны от базовой точки отклики оказываются меньше, чем в ней самой.

2.7 Повторяем шаги 2.3-2.6 до тех пор, пока во все стороны от начальной точки отклики оказываются меньше, чем в ней самой.

Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1

№ п/п	Начальная точка   (в нормированных координатах)			Случайные числа			Составляющие вектора ξ		Пробная точка      (в нормированных координатах)			Приращение координат начальной точки
	x1	x2	у	i-1	i	i+1	ξ1	ξ2	x1	x2	у	Δx1	Δx2
1	20	20	-197	69	03	31	-3	-9,5	17	10,5	-25,65	-3,6	-11,4
Для начальной точки (20; 20)   -   y(A)=-189,2 ; y(B)=-205,2; y(C)=-175,6; y(D)=-219,6
2	16,4	8,6	-6,76	35	02	05	-2	-9,8	-14,4	-1,2	14,52	-2,4	-11,76
Для начальной точки (-16,4; 8,6)   -   y(A)= -2,1; y(B)=-10,7; y(C)= 0,82; y(D)= -14,4
3	14	-3,16	3,7	62	09	43	-9	+4,36	5	1,2	23,14	-10,8	5,23
Для начальной точки (14; -3,16)   -   y(A)= 4,46; y(B)=2,53; y(C)=-3,9; y(D)=10,09
4	3,2	2,07	22,28	26	03	91	-3	9,5	0,2	11,57	-7,57	-3,6	11,4
Для начальной точки (3,2;2,07)   -   y(A)=19,77; y(B)=24,38; y(C)=18,8; y(D)=24,55
5	0,4	13,54	-25,27	93	06	50	6	-8	6,4	5,54	28,14	7,2	-9,6
Для начальной точки (0,4; 13,54)   -   y(A)=-26,61; y(B)=-24,34; y(C)=-15,55; y(D)=-36,2
6	7,6	3,94	30,19	93	06	50	6	-8	6,4	5,54	28,14	7,2	-9,6
Для начальной точки (7,6; 3,94)   -   y(A)=29,81; y(B)=30,16; y(C)=29,83; y(D)=29,34

Как видно, только для точки координатами х₁=7,6; х₂=3,94 во все стороны от нее на расстоянии ρ_{сл п}=10 отклик оказывается меньшим, чем в ней самой. Поэтому движение к экстремуму прекращается и за точку экстремума принимаем точку с координатами (7,6;3,94), значение целевой функции в ней у (х₁=7,6; х₂=3,94)=30,19.

Контурный график движения к экстремуму представлен на рисунке 1.

3 Оптимизация симплексным методом

3.1 Выбираем начальную точку х₁₀= х₂₀=16.

3.2 Выбираем интервалы варьирования Δх₁=2; Δх₂=2; безразмерная величина стороны ρ_сим=1(регулярный симплекс). Для n = 2 имеем ρ » 0,966, q » 0,259.

Результаты расчетов приведены в таблице 2.

Таблица 2

Вершина	Факторы		Отклик
	х1	х2	у
С1	16	16	-93
С2	14,068	15,482	-74,79
С3	15,482	14,068	-60,91
С4	13,55	13,55	-45,10
С5	14,964	12,136	-33,80
С6	13,032	11,618	-20,40
С7	14,446	10,204	-11,68
С8	12,514	9,686	-0,68
С9	13,928	8,272	5,45
С10	11,996	7,754	14,05
С11	13,41	6,34	17,59
С12	11,478	5,822	23,79
С13	12,89	4,408	24,76
С14	10,96	3,89	28,55
С15	12,372	2,476	26,93
С16	9,546	5,304	27,78
С17	9,028	3,372	30,13
С18	10,442	1,958	28,32
С19	7,614	4,786	29,55
С20	7,096	2,854	29,50
С21	8,51	1,44	27,50

Как видно, симплекс совершает полный оборот вокруг вершины С₁₇, то есть для точки с координатами х₁=9,058; х₂=3,372. Поэтому движение к экстремуму прекращается и за точку экстремума принимаем точку с координатами (9,058;3,372), значение целевой функции в ней у (х₁=9,058; х₂=3,372)=30,13.

Контурный график движения к экстремуму представлен на рисунке 2.

Вывод: результат оптимизации методом случайного поиска дал более точный результат у (х₁=7,6; х₂=3,94)=30,19, чем симплексный метод у (х₁=9,058; х₂=3,372)=30,13. Расхождения объясняются различными интервалами варьирования, рабочим шагом и  размером стороны симплекса.

 Таблица 3