Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел

1)  Моногенность функции к.п. в точке, аналитичность (голоморфность) функции к.п. в области. Условия Коши-Римана (критерий голоморфности).

2)  Тригонометрическая и показательная форма записи комплексноых чисел. Комплексная экспонента (показательная функция) и её свойства; тригонометрические и гиперболические функции. Комплексный логарифм и другие многозначные функции комплексного переменного.

3)  Связь между комплексной производной голоморфной функции, частными производными и матрицей Якоби отображения, осуществляемого этой функцией.

4)  Геометрический смысл модуля и аргумента производной голоморфной функции. Свойства: консерватизм углов, постоянство растяжения. Понятие конформного отображения.

5)  Теорема о существовании и голоморфности обратной функции.

6)  Стереографическая проекция, её свойства. Расширенная комплексная плоскость; открытые множества в С, окрестности бесконечно удалённой точки. Обобщённые окружности.

7)  Аналитические (голоморфные и мероморфные) функции на расширенной комплексной плоскости. Определение аналитичности функции в окрестности точки (4 случая).

8)  Общие свойства дробно-линейных отображений. Круговое свойство дробно-линейного отображения.

9)  Общие свойства дробно-линейных отображений. Принцип симметрии для дробно-линейного отображения.

10)  Обобщенные окружности в С. Симметрия относительно обобщенной окружности. Геометрический критерий симметричности точек относительно обобщенной окружности.

11)  Открытые и замкнутые множества. Непрерывные отображения и их свойства. Гомеоморфизмы и локальные гомеоморфизмы. Теорема Брауэра (без док-ва).

12)  Компактные множества и их свойства. Непрерывные отображения на компактных множествах. Критерий компактности множества в эвклидовых пространствах.

1

13)  Связные множества. Свойства непрерывных отображений на связных множествах. Области, жордановы дуги и жордановы кривые. Гомотопные жордановы дуги. Односвязные области. Теорема Жордана (без док-ва).

14)  Непрерывные ветви многозначных отображений. Построение непрерывной ветви отображения, обратного к локальному гомеоморфизму, методом продолжения элемента вдоль жорданововых дуг. Теорема моно-дромии.

15)  Гладкие и кусочно-гладкие пути. Криволинейный интеграл по длине. Интегрирование дифференциальной формы по кусочно-гладкому пути. Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкого пути; свойства комплексного интеграла.

16)  Формула Грина для интеграла от дифференциальной формы. Обобщённая теорема Коши для односвязной и многосвязной области.

17)  Интегральная формула Коши для голоморфной функции. Теорема о среднем.

18)  Комплексный потенциал (интеграл типа Коши) и его свойства. Голоморфность комплексного потенциала.

19)  Теорема-^4есконечной_^иффе2енцируемости голоморфной функции. Интегральная формула Коши для производных гблбморфнойгфунк-ции.

20)  Первообразная дифференциальной формы. Критерий точности дифференциальной формы. Достаточное условие точности дифференциальной формы в односвязной области.

21)  Первообразная функции комплексного переменного; её связь с первообразными для дифференциальных форм. Теорема о существовании первообразной у голоморфной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

22)  Теорема Коши и теорема Морера.

23)  Первая теорема Вейерштрасса для последовательности голоморфных функций.

24)  Принцип максимума модуля для голоморфных функций.

25)  Вторая теорема Вейерштрасса для последовательности голоморфных функций.

2