Комплексные числа, как векторы, или точки плоскости. Простейшие операции

Во избежание восприятия комплексных чисел, как некоторых мнимых объектов, определим коплексные числа, как векторы, или точки плоскости. [Б.А. Фукс, Б.В.Шабат  Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Издание третье Издательство наука Москва 1964]

Рассмотрим систему свободных векторов, лежащих в некоторой плоскости. (Свободными называются векторы, для которых введено следующее понятие равенства: два вектора считаются равными, если их можно совместить друг с другом путём параллельного переноса).

Далее мы введем  операции над векторами. Эти операции делятся па две группы.

Первая группа содержит сложение, вычитание и умножение на действительные числа (скаляры) — операции, которые производятся так же, как в обычной векторной  алгебре.

Операции второй, группы, напротив, существенно отличают алгебру рассматриваемых векторов от обычной. В обычной векторной алгебре вводятся два различных умножения — скалярное и векторное, но ни одно из них не удовлетворяет полностью законам умножения действительных чисел. Например, ни одна из этих операций не допускает обращения: не существует ни скалярного, ни векторного деления. Однако, что для плоской системы векторов удается ввести операции умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня с сохранением всех основных законов арифметики действительных чисел.

Сказанное дает повод рассматривать плоскую систему векторов с описанными двумя группами операций как систему нового рода чисел, которые мы и будем называть комплексными числами.

Плоскость, в которой лежат рассматриваемые векторы, мы будем называть плоскостью комплексных чисел.

Выберем в этой плоскости некоторую точку О и, пользуясь тем, что наши векторы свободны, поместим начальные точки всех векторов в эту точку. Тогда любой вектор 2]

ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ

7.,

Рис. 1. и z2 мы будем пони- пони(комплексное число) z однозначно определится положе- положением точки Р — его конца. Наоборот, любая точка Р плоскости однозначно определится некоторым вектором

(комплексным числом) z = OP. Таким образом, устанавли- устанавливается взаимно однозначное соот- соответствие между комплексными чи- числами и точками плоскости *).

Это дает нам основание наряду с представлением о комплексном числе как о векторе иметь пред- представление о нем как о точке пло- плоскости. В дальнейшем мы будем употреблять выражение «точка z» не менее часто, чем выражение

«вектор z».

2. Простейшие операции. Опре-

Определение. Под суммой и разно- разностью двух комплексных чисел zt мать диагонали параллелограмма, построенного на zt и z2 как на векторах (рис. 1).

Иначе, сумма zi + z2 равна замыкающей диузвенной ломаной, составленной из векторов zt и z2, а разность равна вектору, идущему из точки гг в точку Zi (рис. 1).

Понятие суммы очевидным

образом распространяется на любое число слагаемых.

Определение. Под произведением комплексного числа z на действительное число k мы будем понимать вектор (комплексное число)

kz, длина которого равна длине г, умноженной на ' k |, а направление совпадает с направлением z, если k > О, и противоположно последнему, если k < 0 (см. рис. 2, где изображены числа z, 2z, -„ z и —z).

*) При этом сама точка О соответствует нулевому вектору

(комплексному числу 0).

Рис. 2.