Кольцо многочленов над полем действительных чисел

3. Кольцо многочленов над полем действительных чисел.

- называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы

1)  - коммутативная группа

2)   - ассоциативно  ()(a(bc)=(ab)c)

3)  Два дистрибутивных закона ()((a+b)*c=ac+bc)(c(a+b)=ca+cb)

4)  Если  - коммутативно, то - коммутативное кольцом ()(ab=ba)

Если в кольце есть нейтральный элемент по  ,то кольцо называется кольцом с единицей.

Элементы a и b отличные от нуля, а a*b=0, то a,b-делители нуля.Если в кольце такие элементы, то кольцо с делителями нуля.

Многочленом называется рациональная функция вида: f(x)= a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ , n –целое неотриц, a₀,a_1,a₂,…,a_nR. Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях (функциональное равенство)      f(x) = g(x) ó a_k=b_k   k=

- кольцо

Многочленом над произвольным кольцом К назовем символ вида f(x)= a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ , n –целое неотриц, a₀,a_1,a₂,…,a_nК. Два многочлена равны, если коэффициенты с одинаковыми индексами равны(алгебраическое определение) f(x) = g(x) ó a_k=b_k. Нет функционального равенства, которое тождественно нашему равеству.

К=. f(x)= x, g(x) = x². f(x) g(x) как многочлены, а как функции они равны.

f()=*=           g()=**=

f()=*=           g()=**=

алгебраическое равенство не тождественно функциональному.

f(x) + g(x) = (a₀+b₀)+ (a₁+b₁)+ (a₂+b₂)x²+…+ (a_p+b_p)x^p

f(x)*g(x)=h(x),где h(x)= c₀+c₁x+c₂x+…+c_m+nx^m+n, c_k-=a₀b_k+a₁b_k-1+a₂b_k-2+…+a_kb₀, k=

k[x] – множество многочленов над кольцом k; k[x]={ a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ }

Теорема: k[x], относительно введенной операции + и * образует кольцо.

1.  <k[x],+> - абелева группа

1)  Коммутативность

f(x) + g(x) = (a₀+b₀)+ (a₁+b₁)х+ (a₂+b₂)x²+…+ (a_p+b_p)x^p

g(x)+f(x) = (b₀+ a₀)+ (b₁ + a₁)х+ (b₂+ a₂)x²+…+ (b_p+ a_p)x^p

p=max{m,n}; a_k+b_k= b_k+ a_k  ,т.к. a_k,b_k - кольцо

2)  Ассоциативность

(f(x) + g(x))+h(x)= f(x) +( g(x)+h(x)); p=max{(m,n),r} =  p=max{m,(n,r)}; (a_k+b_k)+c_k= a_k+( b_k+c_k), т.к. a_k,b_k, c_k - кольцо

3)  Нулевой элемент   0 = 0+0*x+0*x²+…+0*xⁿ; f(x)+0=f(x)

4)  Противоположный элемент    -f(x)=- a₀+(-a₁)х+…+(-a_n )xⁿ; f(x)+(-f(x))=0

<k[x],+> - абелева группа

2.  Дистрибутивность

(f(x) + g(x))+h(x)= f(x)h(x) + g(x)h(x); (f(x) + g(x))+h(x)= d₀+d₁x+…+d_sx^s, где d_k = (a₀+b₀)c_k+ (a₁+b₁)c_k-1+…+ (a_k+b_k)c₀ = (a₀c_k+a₁c_k-1+…+ a_kc₀)+( b₀c_k+ b₁c_k-1+…+ b_kc₀)=d_k^’+ d_k^’’

d_k^’ – произведение f(x)h(x), d_k^’’- произведение g(x)h(x);=> л.ч =п.ч, т.к. коэффициенты с одним индексом равны

3.  Ассоциативность

ð  - кольцо

Теорема: если кольцо К – область целостности, то - область целостности

1.  Единица: f(x) = a₀, КК[x], 1К, единица в кольце многочленов по правилу «*» 1. g(x)*1= g(x).

2.  Коммутативность : f(x)g(x) = сумме произведения всех одночленов u  f(x)  и v  g(x). Докажем, что uv=vu; a_kx^kb_sx^s= a_kb_sx^s+k; b_sx^sa_kx^k= b_sa_kx^s+k; a_kb_s=b_sa_k (т.к. К – область целостности). Раз верно для всех одночленов => верно и для многочленов f(x)g(x) = g(x) f(x)

3.  Ассоциативность: аналогично 2.

4. Нет делителей нуля: f(x)= a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ и g(x) = b₀+b₁х+…+ b_mx^m; f(x) g(x)= a₀ b₀+( a₀ b₁+ a₁b₀)x+…+a_nb_m x^n+m; ст f(x)=n=> a_n0 и ст g(x) = m=> b_m0; => a_nb_m0; f(x) g(x) 0=> нет делителей 0.

=> - область целостности

Теорема: Для произвольного многочлена f(x) с коэффициентами из кольца К и имеет место следующее равенство (f(x) = (х- х₀)*g(x) + с)( f(x)  К[x], ), где g(x)  К[x],сК, причем с = f(x₀) и равенство (f(x) = (х- х₀)*g(x) + с)(1) однозначно.

Док-во: 1.Если ст f(x)= 0, то f(x)=аК; тогда  g(x)=0 ,с=а , а=0(х- х₀)+а

2. ст f(x)=n>0; ст f(x)= ст g(x)+ ст(х- х₀); n = ст g(x)+1, ст g(x)= n-1.

Докажем методом неопределенных коэффициентов.

f(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+ a_n, g(x) = b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+ b_n-2x+b_n-1,подставим в равенство (1) и получим  a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+ a_n=(х- х₀)( b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+ b_n-2x+b_n-1)+c. Получим систему, которая имеет единственное решение

b₀= a₀

b₁= a₁+x₀b₀

b₂=a₂+x₀b₁

…………..

b_n-1=a_n-1+x₀b_n-2

c=a_n+x₀b_n-1

f(x₀)= g(x₀) (х₀- х₀)+c;c=f(x₀).

Элемент x₀К называется корнем многочлена f(x), если f(x₀)=0

Теореме Безу: Для того, чтобы х₀ было корнем многочлена f(x) необходимо и достататочно, чтобы f(x) делился нацело на (х- х₀) без остатка.

f(x₀) =0 ó f(x) = (х- х₀)*g(x)

=>^Н f(x) = (х- х₀)*g(x)+с, где с = f(x₀).Т.к f(x₀) =0 (х₀ - корень), то с = 0; f(x) = (х- х₀)*g(x)

<=^Д f(x) = (х- х₀)*g(x) => с = 0; с = f(x₀) =0 => х₀ – корень

Пример: Показать, что - корень f(x)

f(x)= x⁵+x⁴+x³+x²+x+. Разделим на (х-)

f()= 0 => х₀ =  - корень многочлена f(x)

g(x)= x⁴+x³+x+

Теорема о верхней границе кол-ва корней: Кол-во различных корней многочлена не превосходит  степени многочлена.

Б.И. f(x)=aК, ст f(x)=0, корней нет => теорема верна.

Ш.И.  Теорема верна для всех многочленов степени(n-1) . Докажем, что она верна и для многочленов степени n. Доказательство проведем методом от противного. Пусть ст f(x)= n и m различных корней f(x)    х₁,х₂,…,х_m, тогда m>n.Тогда по теореме Безу f(x)=(x-x₁)g(x)  (2) и  х₂,…,х_m – корни многочлена g(x).Подставим х_i в (2), f(x_i)=(x_i-x₁)g(x_i), 0= (x_i-x₁)g(x_i), нет делителей 0=> g(x_i)=0.    ст g(x)=n-1 и имеет место m-1 корней; m>n; m-1>n-1; Получили противоречие.