Кольцо многочленов над полем действительных чисел, страница 2

f(x) со степенью ст f(x)1 называется приводимым, если его можно записать в виде произведения 2-х многочленов с «+» степени. Многочлен  f(x) – неприводимый,если его нельзя записать в виде произведения 2-х многочленов с «+» степенями.

Многочлен над полем комплексных чисел. Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем имеет корень принадлежащий этому полю.

Теорема: Основная теорема Апгебры: Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Следствие из основной теоремы Алгебры

1⁰ Любой многочлен над полем С имеет столько корней какова его степень.

f(x) C[x] по осн-ой теореме х₁С, f(x₁)=0, по теореме Безу f(x) = (х- х₀)*g(x), а g(x) C[x] по осн-ой теореме х₂ – корень g(x). f(x) = (х- х₁)(х-х₂)*g(x)= (х- х₁)(х-х₂)… (х- х_n)a₀, a₀С получили n – корней. Неприводимый многочлен C[x]  имеет только 1-ую степень.

2⁰ Над полем комплексных чисел неприводимыми является только многочлены 1-й степени.

Если ст (f(x))2=> он имеет корень=>(x-x₁)=> приводимый.

Многочлен над полем действительных чисел.

Теорема: f(x) R[x], если α = а+b_i, b0, то  = а+b_i тоже является корнем этого многочлена (f())

f(α)=a_nαⁿ+ a_n-1α^n-1+…+a₁α+a₀=0, f()=a_nⁿ+ a_n-1^n-1+…+a₁+a₀=++…++

==0.

Теорема: Если многочлен с действительными переменными имеет комплексный корень кратности к, то ему сопряженный корень имеет туже самую кратность.

f(x) R[x], α = а+b_i,  = а+b, f(x)=(x-α)^kg(x).

Метод от противного: Пусть  имеет кратность d, k<d. Тогда f(x)=(x-α)^kg(x)= (x-α)^k (х-)^dh(x)=((x-α)(x-))^k(x-)^d-kh(x). =(x-α)(x-)=x²-(α-)x+α*R[x], тогда f(x)= * g₁(x). g₁(x)- имеет корень => g₁(x)- имеет корень получили противоречие, т.к. α кратности к.

Теорема: Над полем действительных чисел могут быть неприводимыми многочлены первой степени и второй степени с Д<0 и никаких других неприводимых над полем действительных чисел нет.

1)  Многочлены 1-й степени неприводимы над любым полем. Т.к. ст (f(x))= ст (g(x))+ст(h(x))?!

2)  =ax²+bx+c; Д=b²-4ac<0. Методом от противного. - приводимый => его можно представить произведением =(mx+d)(kx+s), m,d,k,sR , =mk(x+d/m)(x+s/k), корни х₁= - d/m, х₂ = - s/k, получили противоречие ; многочлен действительных корней не имеет.

3)  Покажем, что других неприводимых нет.

f(x) R[x], cт f(x)3

a)     f(x)=(x-α)g(x);  ст g(x)2, ст(x-α)=1

b)  тогда рассмотрим f(x)как могочлен из С[x].

βС, f(β)=0, f()=0; f(x)= (x- β) (x-)h(x)= h(x); =x²-2ax+a²+b², β= а+b_i

R[x]=>h(x) R[x]; ст=2, ст h(x) 1; f(x)= * h(x); f(x),, h(x) R[x]

ð  f(x)- приводимый.

Многочлен над полем рациональных чисел.

Теорема: Отыскание рациональных корней многочлена с рациональными коэффициентами можно свести к отысканию рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Теорема: Если  (несократимая дробь)- корень многочлена с целыми коэффициентами, то р делитель свободного члена, а q-делитель старшего коэффициента.

Доказательство: f(х)=a_nαⁿ+ a_n-1α^n-1+…+a₁α+a₀,f(p/q)=0

a_n(p/q)ⁿ+ a_n-1(p/q)^n-1+…+a₁(p/q)+a₀=0

a_npⁿ+ a_n-1p^n-1q+ …+a₁pq^n-1+a₀qⁿ=0

a_npⁿ+q(*)(a_n-1p^n-1+ …+a₁pq^n-2+a₀q^n-1)=0

0q  и (*)q=> a_npⁿq, НОД(p,q)=1, НОД(pⁿ,q)=1=>a_nq.2-я часть аналогично, только группируем первые (n-1) членов,а последний оставляем и выносим р.

Проблемное обучение.

Введем понятия: «задача», проблемная задача, проблемная ситуация, проблема.

Ситуация – система объектов с их свойствами и отношениями.

Стационарная ситуация: Если человеку, вступившему  в контакт с ситуацией известны все элементы, свойства элементов и отношения между ними, достаточные для существования этого множества как единого целого, такую ситуацию будем называть стационарной по отношению к данному человеку.

Если человеку известен хотя бы один элемент, одно свойство или отношение в данной ситуации, то такую ситуацию назовем проблемной ситуацией по отношению к данному человеку.

Если перед человеком ставится цель найти этот неизвестный компонент, то проблемная ситуация становится задачей по отношению к этому человеку.

138 + 3x = 192 превращается в задачу, если оно сопровождается целевой установкой «решить уравнение».

Проблемная ситуация, задача могут рассматриваться в системе «человек - ситуация».

Решить задачу – значит преобразовать данную проблемную ситуацию в стационарную или установить, что такое преобразование не возможно.

Существенным достоинством проявления проблемного обучения является исследовательский характер работы учащихся в процессе обучения.

Уже общепринято, что урок не является эффективным, если на нем ученики не работают активно, самостоятельно, не включаются в решение задач, требующих не только определенных знаний, но и сообразительности.

Можно указать три основных способа постановки проблемной ситуации:

а) путем четкой постановки проблемы;

б) путем создания ситуации, в которой от ученика требуется самому понять и сформулировать имеющиеся в ней проблемы;

в) Путем создания такой ситуации с более или менее обозначенной проблемой, но по логике решения ученик должен сам прийти к новой, им самостоятельно сформулированной проблеме.

В основе проблемного обучения лежит эвристический метод, который выступает в различных формах.

Схема проведения урока в форме проблемного обучения:

1.  Создание учебной проблемной ситуации.

2.  Постановка проблемы и ее формулировка.

3.  Решение проблемы:

а) обсуждение проблемы и направлений ее решения;

б)