Показательная и логарифмическая функции. Значение и место изучения показательной функции

Показательная и логарифмическая функции.

1.  Значение и место изучения показательной функции

В природе существуют такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями. Среди этих функций важное значение имеют показательная и логарифмическая функции. Показательная функция служит математической формой выражения обширного круга процессов, происходящих в реальной жизни и имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин. Например: численности населения, скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д.

В раскрытии закономерностей этих процессов используется и логарифмическая функция.

До программы Колмогорова данные функции изучались только в 10 классе, с внедрением в школу программы А.Н.Колмогорова в связи с реформой школы, эти функции были введены в 8 классе и по ныне действующей программе вновь показательная и логарифмическая функции изучаются школьниками в 10 классе сразу после изучения действительных чисел.

Методика изложения данной главы в учебнике последнего издания значительно изменена. Степень с действительным показателем, являющийся необходимым для изучения этой темы, изучается в 1 главе. Введены системы показательных уравнений и неравенств.

2.  Определение степени с действительным показателем.

Перед изучением нового представителя из семейства функций учащихся прежде всего необходимо познакомить со степенью с действительным показателем.

Учащиеся знают смысл 2⁵, 2⁰,  и т.д., а что значит возвести число 2 в иррациональную степень, например или , можно ли 0 возвести в степень с действительным показателем?. Имеет ли смысл выражение ?. На эти вопросы учащиеся смогут найти ответ в ходе беседы, способствующей повторению определений степени с натуральным, нулевым, отрицательным целым, рациональным показателем. Беседу эту желательно сопровождать заполнением таблицы.

Почему введено такое определение  при ?

С целью сохранения закона умножения степеней:

аналогично: ;

Почему введено такое определение  при ?

С целью сохранения закона умножения степеней:

Рассмотрим пример: .

Приближенные значения  с недостатком  и приближенные значения  с избытком

По свойству степени с рациональным показателем     (1)

   (2)

Рассматривая бесчисленное множество членов последовательностей (1) и (2) отмечаем, что V член последовательности (2). Естественно под числом  следует понимать число, которое больше любого члена последовательности (1) и меньше любого члена последовательности (2). Без доказательства принимается, что такое число существует и оно единственное.

 или

Степенью положительного числа с действительным показателем называется предел последовательности степени с рациональными показателями, являющимися приближенными значениями действительного показателя.

Можно рассмотреть существование такого предела на числовой оси.

  при .  при

Все свойства степеней с дробным показателем автоматически переносятся на степень с действительным показателем и к пяти известным свойствам:

              добавляется шестое свойство:  при , , которое затем используется при доказательстве свойств показательной функции. С помощью свойств степени 1-6 доказываются свойства:

Т₁: при  и            

Т₂: при  и      

3.  Методические рекомендации к изучению свойств показательной функции.

Прежде всего, необходимо повторить все, что учащиеся изучали о функции: понятие функции, область определения, множество значений, возрастающая и убывающая функции, четность, промежутки знакопостоянства, нули функции. В ходе изучения показательной функции желательно повторить преобразования графиков функций и уделить внимание построению графиков  графическому способу решения уравнений и неравенств, содержащих показательную функцию. Есть возможность для проведения лабораторно-графических работ. Ч целью повторения преобразований графиков функций можно использовать графические диктанты с применением шаблонов, кодопозитивов. При изучении показательных уравнений следует уделить внимание формированию алгоритмической культуры у учащихся, выполнив соответствующую классификацию показательных уравнений и составив алгоритм решения уравнений каждого типа.