Нахождение отличные от тождественного нуля решения дифференциального уравнения, страница 4

28670805696113295/18014398509481984*pi+2*cos(2*x)-8*sin(x)*pi-3*sin(2*x)+17202483417667977/18014398509481984*pi^2+8/49*cos(7*x)-6/7*sin(7*x)+1911387046407553/2251799813685248*pi^3-2*sin(3*x)+8/9*cos(3*x)+1/8*cos(8*x)-3/4*sin(8*x)-6*sin(x)+1/2*cos(4*x)+8*cos(x)-3/2*sin(4*x)+8/81*cos(9*x)+8/25*cos(5*x)-6/5*sin(5*x)-2/3*sin(9*x)+2/25*cos(10*x)-3/5*sin(10*x)+2/9*cos(6*x)-sin(6*x)-4*sin(2*x)*pi-8/3*sin(3*x)*pi-2*sin(4*x)*pi-8/5*sin(5*x)*pi-4/3*sin(6*x)*pi-8/7*sin(7*x)*pi-sin(8*x)*pi-8/9*sin(9*x)*pi-4/5*sin(10*x)*pi  

График функции:

ezplot(f,0,7)  

  

График решения:

ezplot (uu,0,6) 

  

График общего решения:

ezsurf(u)  

  

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.

,   ,    ,   .

Общее решение поставленной задачи будем искать в виде суперпозиции гармонических функций (функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа). В качестве таких функций выберем следующие (см. решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге):

1)  – общее решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Эта функция по отношению к внешнему радиусу кольца является решением внутренней задачи.

2)  – общее решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Эта функция по отношению к внутреннему радиусу кольца является решением внешней задачи.

3)  – фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости, является всюду гармонической, кроме .

Таким образом, общее решение поставленной задачи будем искать в виде:

где в последнем равенстве переобозначили .

Для отыскания неизвестных коэффициентов применим граничные условия:

1) , где  – внутренний радиус кольца. Разложим  в ряд Фурье:

откуда, приравняв коэффициенты, получим

,

,                                                      (1)

.

2) , где  – внешний радиус кольца. Аналогично, получим

,

,                                                      (2)

.

Решая полученную систему из уравнений (1) и (2), получаем:

,

,

,                                               (3)

,

,

Коэффициенты , , ,  определяются следующим образом:

,

,

,

,

,

Введем обозначения для коэффициентов и искомых функций:

syms R1 R2 an1 an2 A0 Cn An Dn D0 Bn bn1 bn2 uu1 uu2 f1 f2  

Определяем граничное условие:

f1=x^2+5*x+7  

f1 =

x^2+5*x+7  

f2=x^2  

f2 =

x^2  

R1=1 

R2=2  

R1 =

1

R2 =

2  

Вычисляем коэффициенты:

a01=1/pi*int(f1,x,-pi,pi)  

a01 =

1911387046407553/9007199254740992*pi^3+40139127974558613/9007199254740992*pi  

an1=1/pi*int(f1*cos(n*x),x,-pi,pi)  

an1 =

5734161139222659/9007199254740992*(n^2*pi^2*sin(pi*n)-2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)+7*sin(pi*n)*n^2)/n^3  

bn1=1/pi*int(f1*sin(n*x),x,-pi,pi)  

bn1 =

-28670805696113295/9007199254740992*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n))/n^2  

a02=1/pi*int(f2,x,-pi,pi)  

a02 =

1911387046407553/9007199254740992*pi^3  

an2=1/pi*int(f2*cos(n*x),x,-pi,pi)  

an2 =

5734161139222659/9007199254740992*(n^2*pi^2*sin(pi*n)-2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n))/n^3  

bn2=1/pi*int(f2*sin(n*x),x,-pi,pi)  

bn2 =

0  

A0=(a02*log(R1)-a01*log(R2))/log(R1/R2)  

A0 =

1911387046407553/9007199254740992*pi^3+40139127974558613/9007199254740992*pi  

Cn=subs(R1^n*R2^n*(an1*R2^n-an2*R1^n)/(R2^(2*n)-R1^(2*n)),[R1,R2],[1,2])  

Cn =

2^n*((27227927363807715762992813480013/2535301200456458802993406410752*sin(pi*n)*n^2-5734161139222659/4503599627370496*sin(pi*n)+5734161139222659/4503599627370496*pi*n*cos(pi*n))/n^3*2^n-(15929767251982789428336599799885/2535301200456458802993406410752*sin(pi*n)*n^2-5734161139222659/4503599627370496*sin(pi*n)+5734161139222659/4503599627370496*pi*n*cos(pi*n))/n^3)/(2^(2*n)-1)  

An=subs((an2*R2^n-an1*R1^n)/(R2^(2*n)-R1^(2*n)),[R1,R2],[1,2])  

An =