Метрические и линейные нормированные пространства

Метрические и линейные нормированные пространства

Ниже везде R – множество действительных чисел

Задача 1

Ответить на следующие вопросы:

(a)  Является ли метрическим пространством заданное множество M с определенной на нем функцией d: M´M ® M ?

(b)  Будет ли (M, d) полным метрическим пространством?

Варианты

1.  M  = R , d(x,y) = | x³ – y³ |

2.  M  = R² , d((x₁,y₁), (x₂ ,y₂ ) ) = | x₁  – x₂| + |y₁ – y₂|

3.  M  = R  , d(x,y) = | e^x  – e^y  |

4.  M  = R , d(x,y) = min ( 1, |x-y| )

5.  M = R , d(x,y)=| – |

6.  M  – множество прямых в декартовой плоскости, не проходящих через начало координат; для прямых l₁: x cos a₁ + y sin a₁ – p₁ = 0  и  l₂: x cos a₂ + y sin a₂ – p₂ = 0 значения d определяются по формуле

7.  M = {x Î R : x ³ 0} , d(x,y)=  

8.  M  – множество прямых в декартовой плоскости, не проходящих через начало координат; для прямых l₁: x cos a₁ + y sin a₁ – p₁ = 0  и  l₂: x cos a₂ + y sin a₂ – p₂ = 0 значения d определяются по формуле

9.  M = R , d(x,y)=

10.  M  – множество прямых l: x cos a + y sin a – p = 0 в декартовой плоскости, для которых 0£a<p ; для прямых l₁: x cos a₁ + y sin a₁ – p₁ = 0  и  l₂: x cos a₂ + y sin a₂ – p₂ = 0 значения d определяются по формуле

11.  M =  {x Î R : x ³ 0}, d(x,y)=  

12.  M = R , d(x,y)=|arctg(x–y)|

13.  M = R ,

14.  M = R , d(x,y)=| arctg x – arctg y|

15.  M – множество замкнутых отрезков [x,y] на прямой,  d([x₁,y₁], [x₂ ,y₂ ] ) = | x₁  – x₂| + |y₁ – y₂|

16.  M = {x Î R : x ³ 0}, d(x,y) = |x² –  y²|

17.  M – множество замкнутых отрезков [x,y] на прямой,  d([x₁,y₁], [x₂ ,y₂ ] ) = | [x₁,y₁] | + |[x₂ , y₂]| – 2|[x₁,y₁] Ç [x₂ ,y₂ ]| , где |[x,y]|=|x – y|

18.  M ={x Î R : x > 0} d(x,y)=

19.  M = N – множество неотрицательных целых чисел,   .

20.  M = R ,

21.  M – множество рациональных чисел, фиксируем простое число p, определим d(x, y) = p^-k ,  если x – y = p^k,  где m и n – целые числа, взаимно простые с числом p.

Задача 2

Построить оператор для решения заданного уравнения. Доказать, что он является сжимающим. Построить последовательные решения  интегрального уравнения и оценить точность

Варианты

1. 

2.   , y₀(x)=0                                          exp(x)

3.   

4.    , y₀(x) = 1                                            y(x)=x

5. 

6.   ,                  y(x)=x

7. 

8.   , y₀(x)=1-x² .                       y(x)=1

9. 

10.   , y₀(x)=1.                                            y(x)=1

11.                                                   (4/21)x+1

12.   , y₀(x)=1.                                       y(x)=

13.   , y₀(x)=1 ; p=0, 1, 2, ×××                             y(x)= 

14.                                                  exp(x) – exp(x–1)+1

15.   , y₀(x)=0.                           y(x)=sin x

16.                

17.    , y₀(x)=0                                            y(x)=(2e)^x

18.                                          2/3

19.   ,  y₀(x)=0                              y(x)=

20. 

Задача 3

Пусть (M,d) – метрическое пространство, E – его подмножество. Точкой прикосновения  множества E называется точка xÎM, в любой окрестности которой существует по крайней мере одна точка из E.

Точка xÎE называется предельной точкой множества E, если  любая окрестность точки x содержит по крайней мере одну точку из E, не равную x. (Предельная точка множества E не обязана принадлежать E .)

Множество всех предельных точек подмножества E  метрического пространства называется производным множеством  E’ .

Подмножество EÍM называется открытым, если каждая его точка является внутренней, т.е. содержится в E вместе с некоторой окрестностью B(x,e).

Подмножество, содержащее все свои точки прикосновения, называются замкнутыми.

Точка  xÎE  называется граничной точкой множества E, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие E, так и точки, не принадлежащие E.

Отображение f : M ®M’ метрических пространств называется непрерывным в точке xÎM, если

(" e > 0) ( $ d > 0) d(x,x’) < d Þ d’(f(x), f(x’)) < e

Отображение f : M ®M’ метрических пространств называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке xÎM.

Непрерывная биекция между метрическими пространствами, имеющая непрерывное обратное отображение, называется гомеоморфизмом.

Варианты

1.   Дано некоторое множество точек E на плоскости. Известно, что нижняя грань расстояний между                различными точками из E больше нуля. Доказать, что множество E не имеет предельных точек.

2.  Построить множество, для которого производное множество не пусто, а второе производное множество пусто.

3.  Справедливо ли утверждение: Производное множество от  пересечения двух множеств AÇB равно персечению производных множеств от  каждого множества в отдельности?

4.  Доказать: Если предельная точка не принадлежит множеству, то она является его граничной точкой.

5.  Доказать, что пересечение последовательности плотных открытых подмножеств прямой является плотным подмножеством.

6.  Доказать утверждение: Если в метрическом пространстве любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность, то это метрическое пространство сепарабельно.           

7.  Пусть B[x,r] = {x’: d(x’,x)£ r }. Доказать diam B[x,r] £ 2r  и .