Методические указания к выполнению вводной лабораторной работы по курсу "Основы механики", страница 7

13

выражении отбросить все члены, содержащие D Х в степенях выше первой. Следовательно, будем  иметь

А + D А = f (X) + D X f ¢ (X), где f ¢ (X) - первая производная от f  (X) по Х.

Так как А=f(X), то последнее выражение даст нам

D А =  D X f ¢ (X)                                                                    (1)

Это очень важное соотношение говорит нам, что абсолютная ошибка функции равна произведению абсолютной ошибки аргумента, умноженной на производную этой функции.

Как было уже указано, абсолютная ошибка - очень малая величина; это позволяет нам рассматривать ее как дифференциал Х; то же самое относится и к абсолютной ошибки функции А. Тогда равенству (1) можно придать вид

dA =  f ¢ (X)dX                                                                     (1¢)

Найдем относительную ошибку e = D А/А, теперь мы можем ее написать так:

e = dA/A

Разделив равенство (1¢) на А , равное f(X), получим:

dA/A =  f ¢ (X)dX / f  (X), или

                e = f ¢ (X)dX / f  (X)                                                        (1’’)

Из математики известно, что правая часть последнего выражения есть дифференциал натурального логарифма функции f  (X). Следовательно,

e = d(ln f  (X))= (ln f (X)) _x’ d_x =( 1/f(X)) f_x¢(X) dX

что и требовалось доказать.

Относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции.

Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина определяется через непосредственно измеряемые величины Х₁, Х₂, ..., Х_n, тогда

А = f (Х₁, Х₂, ..., Х_n).

Каждая из ошибок  D Х₁, D Х₂, ..., D Х_n вызывает свою частную

12

Ошибки результата в слуЧае косвенного определениЯ некоторой велиЧины

Разберем следующий конкретный пример: дан цилиндрик из некоторого материала, требуется определить плотность этого материала.

Мы, знаем, что плотность r численно равна отношению массы тела m к объему V:

r = m / V

Для цилиндра, диаметр которого D, а высота h, объем определяется выражением

V = p D² h/ 4 .

Следовательно,  r = 4m / p D²h

По этой же формуле вычисляют плотность, измеряя непосредственно массу, диаметр и высоту цилиндра. Все три перечисленные величины определяются приближенно. Масса m будет измерена с абсолютной ошибкой Dm , диаметр D - с ошибкой D D, а высота h - с ошибкой D h. По приближенным (средним) значениям m_ср, D_ср и h_ср  вычисляют величину r_ср так  как истинных значений m, D  и   h  мы не знаем. Тогда возникает вопрос: как же найти ошибку, допущенную при определении плотности.

Для решения этого вопроса в общем виде рассмотрим сначала случай, когда определяемая величина А не может быть измерена непосредственно, а определяется через некоторую величину Х; эта величина Х доступна непосредственному измерению и связана функциональной зависимостью с А. Тогда величину А можно рассматривать как функцию величины Х:

А = f ( X )

Ошибка DХ, допущенная при измерении величины Х, вызовет ошибку D А величины А. Очевидно

А + D А = f ( Х + D Х )

Правую часть этого выражения разложим в ряд Тейлора :

А + D А = f (X) +   f ¢ (X) D X +  f”(X) D X²/2 + . . .

Ошибка D Х при точных измерениях - весьма малая величина; квадрат этой величины ( а также более высокие степени) будет лежать за пределами точности измерения. Это дает нам право в последнем 

9

Средней абсолютной ошибкой результата а_cр называется среднее арифметическое абсолютных значений ошибок отдельных измерений, т.е.

Dа_ср =  (| Dа₁| + | D а₂| +.......+| D а_n |)/ n        (1)

КвадратиЧнаЯ и вероЯтнаЯ ошибки результата

В теории вероятностей выводится, что при большем числе наблюдений более точное значение ошибки результата определяется или “ средней квадратичной” ошибкой, или “вероятной”, для которых даются выражения:

D а_кв =        Ö (D а²₁ + D а² ₂ +.......+ D а² _n )/ n(n -1)                   (2)

D а_вер =    0,6745*Ö  (D а²₁ + D а² ₂ +.......+ D а² _n )/ n(n -1)       (3)

Так как вычисленные значения погрешностей с одинаковой  вероятностью могут быть как положительными , так и отрицательными, то определить знак ошибки невозможно, поэтому, заканчивая измерения данной величины а, результат записывают так:

а = a_cp ± D а_ср

или

а = a_cp ± D а_кв

или

а = a_cp ± D а_вер

ОтносительнаЯ ошибка результата

Абсолютная ошибка (средняя, квадратичная и вероятная) сама по себе не дает представления о точности измерения. Точность измерения характеризуется относительной ошибкой, которая представляет собою отношение абсолютной ошибки D а (средней, квадратичной или вероятной) к результату измерения а_cр, ее обычно обозначают через e и выражают в процентах

e = D а/ a_cp 100 %