На рис. Ниже показана зависимость
среднего арифметического от количества измерений, причем для разного количества
измерений изменяется случайным образом. При этом при
увеличении измерений
стремится к матожиданию, что
соответствует состоятельности оценки. Вследствие несмещенности
оценки для разного числа измерений
располагается как выше,
так и ниже истинного матожидания, что приводит к совпадении матожидания от
и истинного математического ожидания
результата измерений (напомним, что матожидание многократного измерения – это
наиболее вероятное значение результата измеряемой физической величины).
В качестве точечной оценки среднеквадратического отклонения многократного измерения принимается величинаS
.
1.3
Среднеквадратическое отклонение измерения, вычисленное по этой формуле, является смещенной оценкой, а несмещенной оценкой его является величина S
.
1.4
Само среднее значение тоже является случайной величиной (см.
рис.), и его отклонение от истинного значения X характеризуется
дисперсией Sx для среднего значения, которое вычисляется по формуле
.
1.5
Как видно из этой формулы, дисперсия среднего значения с ростом N убывает быстрее, чем s .
Полученные оценки позволяют сделать
заключение о точности проведенных измерений. Результаты измерений записываются
в виде X =; S = . . . ;
SX =. . . . . ;
N = . . . .
1.5.2 Интервальная оценка результатов измерений
При большом числе испытаний точечные оценки показателей будут приближаться к истинным значениям, но реально большое число испытаний произвести затруднительно. Поэтому в таком случае используют интервальные оценки, достоверность которых характеризуется доверительной вероятностью к результату измерения. Использование интервальных оценок позволяет связать показатели точности и достоверности с числом испытаний.
Для установления такой связи необходимо определить точное распределение выборочной характеристики (статистической оценки) на основе вида закона распределения генеральной совокупности (результата измерения). Поэтому в процессе получения интервальных оценок измерения последовательно решаются четыре задачи:
· проверка соответствия результатов измерения нормальному закону распределения (или его принятие)
· вычисление доверительных границ для матожидания результата измерения
· вычисление доверительных интервалов для среднеквадратического отклонения результата измерения
· обнаружение грубых погрешностей (промахов).
Нормальный закон распределения вероятности в измерениях.
В процессе эксплуатационных наблюдений на результат измерения параметра Х системы влияет большое число различных по своей природе факторов. Это приводит к вероятностному характеру измеряемой величины. При этом принимают гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерений параметра. Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений обьясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которых принимали участие многие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов.
Центральная предельная теорема говорит о том, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному закону, когда результаты измерения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных. Именно поэтому, в измерениях, обычно принимают гипотезу о нормальном распределении погрешностей измерения.
То-есть, измеряемый параметр X
имеет нормальное распределение cо средним (математическим
ожиданием) и дисперсией σ2:
. 1.6
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.