Динамика системы материальных точек. Векторное и дифференциальные уравнения движения центра масс

Динамика системы материальных точек.

1.  Основные определения. Силы внешние и внутренние.

Системой материальных точек называют совокупность таких точек, движения которых взаимосвязаны.

Массой системы материальных точек называется сумма масс всех точек , где n – число точек в системе, mj – масса j-ой точки системы.

При изучении движения системы материальных точек, различают силы внешние и внутренние, действующие на точки системы.

Внешними называются силы, действующие на какую-либо материальную точку механической системы со стороны тел, не принадлежащих рассматриваемой механической системе - .

Внутренними называются силы, действующие на какую-либо материальную точку механической системы со стороны других материальных точек, принадлежащих рассматриваемой механической системе - .

Свойства внутренних сил.

Как следует из третьего начала динамики – начала взаимодействия – внутренних сил всегда четное число, каждая пара сил имеет общую линию действия, силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Следовательно, легко показать, что главный вектор и главный момент всех внутренних сил относительно любой точки О равны нулю.

Действительно, возьмем две любые точки M₁ и M₂. Приложенные к ним внутренние силы обозначим и. Выбирая произвольную точку О строим главный вектор этих двух сил:

Так как , то = 0

Строим главный момент этих двух сил относительно (.)О:

^. Но

. Так как , то

Применяя аналогичные рассуждения для каждой другой пары внутренних сил, докажем сформулированное выше утверждение.

Дифференциальные уравнения движения системы.

Пусть система n материальных точек, массы которых m₁, m₂, …m_n движется относительно выбранной системы отсчета и находится под действием сил  (где  - равнодействующая приложенных к точке  сил в рассматриваемой системе отсчета).

Определить движение системы это значит иметь возможность установить положение каждой точки системы в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета, то есть определить .

Для каждой точки системы запишем основное уравнение динамики точки (2-ой закон Ньютона).

 (1)

Но

, а

Поэтому (1) можно записать иначе:

 (2)

Это - векторные уравнения движения.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат:

(3)

Получили 3n динамического уравнения второго порядка. Это динамическое уравнения движения точек системы.

Решение этих уравнений будет содержать 6n произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий. Пусть при t=0 известны:

 (4)

Тогда в результате интегрирования уравнений (3) с учетом начальных условий (4) можно получить уравнения движения, то есть

 (5)

О трудностях интегрирования системы уравнений (3).

Теоретически задача о движении системы материальных точек решается выше изложенным способом. Но практически этот способ реализуем по следующим причинам:

1)  Обычно неизвестны и нет способов их аналитического выражения, что требуется в уравнениях (3).

2)  Для большого числа n точек системы составление 3n динамического уравнения является громоздкой процедурой.

Эти трудности можно обойти, используя некоторые другие понятия теоретической механики, являющиеся мерами движения: количество движения, кинетический момент, кинетическая энергия системы.

Центр масс механической системы.

Механическая система, состоящая из n материальных точек, движется относительно осей координат 0xyz, неизменно связанных с системой отсчета. Массы точек системы , а их положения относительно осей 0xyz определяются в момент времени t радиусами-векторами  или координатами .

Центром масс системы материальной точки называется точка, положение которой в рассматриваемый момент времени определяется равенством:

, (1)

где m – масса данной системы материальной точки.

Центр масс – геометрическая точка.

Проектируя (1) на оси , получим формулы, определяющие координаты центра массы:

 (2)

Векторное и дифференциальные уравнения движения центра масс.

Пусть движение системы материальной точки происходит под действием системы сил (). (1) перепишем в виде  и дважды продифференцируем по времени:

 (*)

Известно, что  и

Рассмотрим правую часть (*): , так как , где  - равнодействующая всех сил, приложенных к j-ой материальной точки.

Но . То есть

Подставляя в (*), получим: .

 - главный вектор внешних сил;  - главный вектор внутренних сил.

Окончательно:  (3) – векторное уравнение движение центра масс системы.

Центр масс системы материальной точки движется так, как движется материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и в которой приложены все внешние силы, действующие на систему.