Механика \ Теоретическая механика

Динамика системы материальных точек. Векторное и дифференциальные уравнения движения центра масс, страница 3

Кинетический момент системы материальных точек (главный момент количества движения системы материальных точек) относительно неподвижного полюса.

В момент t: количества движения точек

Кинетическим моментом системы материальных точек относительно полюса О называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек данной системы относительно того же полюса. Для момента времени t:

(1)

Из определения следует, что имеет начало в (.) О, и при движении механической системы изменяется и по величине и по направлению. Раскладывая на составляющие по осям каждый из векторов равенства (1), получим:

, откуда

(2)

(2) – алгебраические величины проекций кинетического момента относительно полюса О на оси координат или алгебраические величины кинетического момента системы относительно осей .

Так как то .

Так как

то , то есть (2) примут вид:

Введем в рассмотрение промежуточную систему координат , имеющую начало в центре масс механической системы и оси, параллельной осям системы 0xyz во все время движения системы материальных точек. Движение механической системы относительно неподвижной системы координат 0xyz (а значит, и каждой ее точки) можно рассматривать

Переносным движение является движение неизменяемой среды, неизменно связанной с промежуточной системой координат, относительно неподвижной системы 0xyz. Оно является поступательным (оси систем параллельны).

Скорость любой материальной точки относительно осей 0xyz: , то есть

где .

Переносное движение – поступательное, то есть в один и тот же момент времени t все точки данной системы будут иметь в переносном движении одинаковые по величине и направлению скорости , определяемые скоростью центра масс С. механической системы.

Кинетический момент:

, но , то есть

(3)

В (3) рассмотрим по отдельности каждую сумму:

, так как , ибо в системе координат - начало .

- кинетический момент системы материальных точек в ее относительном движении.

- момент количества движения относительно полюса 0 материальной точки, имеющей массу данной системы и совпадающей с ее центром масс.

, так как

Подставляя найденные значения сумм в (3), получим:

(4)

Кинетический момент системы материальных точек относительно неподвижного полюса О равен геометрической сумме момента относительно того же полюса количества движения материальной точки, имеющей массу данной системы и совпадающей с ее центром масс и кинетического момента системы относительно центра масс системы в ее движении относительно осей координат, имеющих начало в этом центре и параллельных осям неподвижной системы координат.

Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек относительно неподвижного полюса.

Система материальных точек движется под действием сил . Для каждой точки уравнение момента количеств движения:

, но , то есть и

Эти n векторных равенств сложим почленно:

(5)

- главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно полюса О; - главный момент всех внутренних сил, действующих на систему. . Значит:

или (6)

Производная по времени от кинетического момента системы материальных точек относительно неподвижного полюса в каждый данный момент времени равна главному моменту относительно того же полюса всех внешних сил, действующих на механическую систему.

(6) спроецируем на оси :

(7), где

(7) – уравнения кинетического момента системы материальных точек относительно осей.

Частные случаи.

1. Закон сохранения кинетического момента системы материальных точек относительно неподвижного полюса. Если система сил () действующих на систему материальных точек такова, что , то

(8)

Если главный момент внешних сил относительно неподвижного полюса равен нулю, то кинетический момент системы материальных точек относительно того же полюса во все время движения системы остается постоянным по величине и направлению, равным его значению в начальный момент времени.

2. Закон сохранения кинетического момента системы материальных точек относительно оси. Если система такова, что , то .