Исследование надежности системы

ИМНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

Курсовая работа

На тему: «Исследование надежности системы»

Выполнил студент

Группы ЭТ – 301

Стрельцов А.

Санкт – Петербург

2004

1.  Исходная система.

Представим эту схему, как соединение двух последовательных элементов.

где II элемент это параллельное соединение 2-ого, III–его и IV-ого элементов, III элемент это последовательное соединение 1-ого и 4-ого элементов, а IV элемент это последовательное соединение 3-его и 5-ого элементов.

Отказ системы:

АI = AII*A6

AII = AIII+A2+AIV

AIII = A1*A4

AIV = A3*A5

A_общ= ((A1*A4)+A2+(A3*A5))*A6

Р_общ = (1-(1-(1-A1)*(1-A4))*(1-A2)*(1-(1-A3)*(1-A5)))*(1-A6)
2. Таблица значений функций распределения вероятности отказов схемы.

T	Q	P	f
0	0	1	0
80	0,001903364	0,998096636	2,37921E-05
160	0,002965339	0,997034661	1,32747E-05
240	0,005089685	0,994910315	2,65543E-05
320	0,008968577	0,991031423	4,84862E-05
400	0,01541922	0,98458078	8,0633E-05
480	0,02527023	0,97472977	0,000123138
560	0,03921252	0,96078748	0,000174279
640	0,05769523	0,94230477	0,000231034
720	0,08088923	0,91911077	0,000289925
800	0,1087044	0,8912956	0,00034769
880	0,1408367	0,8591633	0,000401654
960	0,1768251	0,8231749	0,000449855
1040	0,2161063	0,7838937	0,000491015
1120	0,2580611	0,7419389	0,000524435
1200	0,3020495	0,6979505	0,000549855
1280	0,3474376	0,6525624	0,000567351
1360	0,3936153	0,6063847	0,000577221
1440	0,440008	0,559992	0,000579909
1520	0,4860849	0,5139151	0,000575961
1600	0,5313638	0,4686362	0,000565986
1680	0,5754142	0,4245858	0,00055063
1760	0,6178595	0,3821405	0,000530566
1840	0,6583784	0,3416216	0,000506486
1920	0,6967057	0,3032943	0,000479091
2000	0,7326326	0,2673674	0,000449086
2080	0,7660063	0,2339937	0,000417171
2160	0,7967282	0,2032718	0,000384024
2240	0,8247521	0,1752479	0,000350299
2320	0,8500808	0,1499192	0,000316609
2400	0,8727617	0,1272383	0,000283511
2480	0,8928815	0,1071185	0,000251498
2560	0,9105604	0,0894396	0,000220986
2640	0,9259461	0,0740539	0,000192321
2720	0,9392064	0,0607936	0,000165754
2800	0,9505234	0,0494766	0,000141463
2880	0,9600865	0,0399135	0,000119539
2960	0,9680873	0,0319127	0,00010001
3040	0,9747137	0,0252863	8,283E-05
3120	0,9801465	0,0198535	6,791E-05
3200	0,9845553	0,0154447	5,511E-05
3280	0,9880966	0,0119034	4,42662E-05
3360	0,9909118	0,0090882	3,519E-05
3440	0,9931267	0,0068733	2,76863E-05
3520	0,9948512	0,0051488	2,15563E-05
3600	0,99618	0,00382	1,661E-05
3680	0,9971931	0,0028069	1,26638E-05

3. Математическое ожидание и дисперсия.

3.1. Математическое ожидание.

МТ = ò P(t) dt = (P₀+P_n/2+(P₁+P₂+…+P_n-1))*∆t

MT = 1641,736356

3.2. Дисперсия.

DT = MT² – (MT)²

(MT)² = 2 ò t*P(t) dt = 2*∆t*(P₁t₁ +P₂t₂ +…+ P_nt_n)

(MT)² = 3012865,812

DT = 3012865,812-(1641,736356)^2 = 317567.5494

s = Ö DT = 564

4. Вероятность без отказанной работы

Находим вероятность без отказанной работы системы в течении t₁ ³ 400,

t₂³ 800, t₃³ 1600 по графикам функций Q(t) или P(t)

А) t₁ ³ 400, вероятность без отказанной системы расчета равна:

P £ 0,98458078

Б) t₂³ 800, вероятность без отказанной системы расчета равна:

P £0,8912956

В) t₃³ 1600, вероятность без отказанной системы расчета равна:

P £0,4686362

5. Наработка системы до отказа.

5.1. Для схемы.

формула выглядит так: min (T_II;T₆)

II элемент

формула для этого элемента: max (T_III;T₂’T_IV)

III элемент

формула: min (T₁;T₄)

IV элемент

min (T₃;T₅)

Тогда общая формула вычисления наработки системы до отказа будет иметь вид:

Min (min (T₁;T₄); T₂; min (T₃;T₅); T₆)

5.1. Запишем в таблицу результат статического моделирования Т, по возрастающей:

352	996	1346	1943	2400
533	1057	1350	1950	2473
731	1123	1390	2063	2503
781	1143	1471	2088	2555
808	1160	1543	2145	2681
819	1189	1611	2246	2771
910	1246	1618	2248	2815
953	1300	1861	2291	2832
960	1317	1881	2312	3231
990	1339	1935	2332	3595

Интервал t € [352; 3595]

Число частичных интервалов N = [√n] = [√50] = 7

Min T = 352 = a

Max T = 3595 = b

Величина интервала h = (3595-352)/7 = 463

Составим таблицу распределения выборки.

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервала	(352; 808]	(808; 1246]	(1246; 1618]	(1618; 2145]	(2145; 2555]	(2555; 2832]	(2832; 3595]
Значение ti	580	1027	1432	1881.5	2350	2693.5	3213.5
Эмпирические частоты, n	5	12	10	8	9	4	2
эмпирические частоты, ni/n	0.1	0.24	0.2	0.16	0.18	0.08	0.04

Построим гистограмму относительных частот:

Найдем выборочное среднее:

t = (t₁ + t₂ + … + t_n)/50 = n₁/n*T₁ + n₂/n*T₂ +… +n₇/n*T₇

t = 1658,94

Найдем выборочную дисперсию:

S² = t²– (t)²= n₁/n*T₁^2 + n₂/n*T₂^2 +… +n₇/n*T₇^2 – (t)^2

S² = 3250815,19 – (1658,94)^2 = 498733.2664

Выборочное средне квадратное отклонение равно:

S = ÖS^2 = 685

6. найдем доверительные интервалы для математического ожидания и составим таблицу:

X = t*(S/Ön)

a₁ = t - x

a₂ = t + x

7. Проверим гипотезу  Н₀ о виде распределения вероятности отказа системы с помощью критерия х² (Пирсона).

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервала	(352; 808]	(808; 1246]	(1246; 1618]	(1618; 2145]	(2145; 2555]	(2555; 2832]	(2832; 3595]
Эмпирические частоты, n	5	12	10	8	9	4	2
теоретические частоты, npi	5,02	10,8	10,66	12,48	5,92	2,24	2,1

n/pi = (Q(Tmax) – Q(Tmin))

x² = S (ni - npi)²/npi = 4,772532662

Число степеней свободы l = 7-1 = 6

Критическая точка: х² кр (0.1;6) = 10.6

 х² кр (0.05;6) = 12.6

 х² кр (0.01;6) =  16.8

Для рассматриваемых уравнений зависимости х²< х² кр. Оснований опровергнуть гипотезу Н₀, нет. Эта гипотеза состоит в том, что полученная функция распределена в результате статистического моделирования, может описать функцию распределения, данную в текущей работе. В пределах погрешностей они должны совпасть.