Метод непосредственного развертывания

Страницы работы

Содержание работы

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра “Прикладная математика”

Домашнее задание № 1

“Метод непосредственного развертывания”

Выполнила:

студентка группы ЭТ-401

Кожевникова Е. М.

Проверил:

доц. Вашакидзе Л. С.

Санкт-Петербург

2006

Для матрицы  методом непосредственного развертывания найти все собственные числа и собственные векторы. Записать ее спектральное разложение.

.

Если для некоторого ненулевого вектора выполняется равенство

,

(1)

то  и  называются соответственно собственным значением и собственным вектором матрицы . Если выражение (1) записать в виде

,

(2)

то эта однородная система (правая часть равна нулю) линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Следовательно,

.

(3)

Это выражение называется характеристическим уравнением (вековым уравнением) матрицы .

Составим характеристическое уравнение для заданной матрицы :

.

Развернем этот определитель, дополнив его двумя первыми столбцами:

.

В развернутом виде получаем характеристическое уравнение, которое является алгебраическим многочленом (полиномом) третьей степени относительно неизвестного .

или

.

Корнями этого уравнения являются собственные значения матрицы . Так как матрица  симметричная, то собственными значениями являются действительные числа.

Задача нахождения собственных значений сводится к решению нелинейного уравнения третьего порядка.

Решение нелинейного уравнения

  1. Графическое определение корней

С помощью программы MATLAB строим график функции , заменяя аргумент  на , а значение функции  на . Определяем интервалы точек пересечения графика функции с осью .

Программа для построения графика функции:

x=-20:1:20;

y=((x-9).*x-124).*x+708;

plot(x,y,'r','linewidth',3);grid

График функции изображен на рис. 1.

Рис. 1

Замечание. Достаточно получить одну точку пересечения графика с осью  и уточнить один корень.

График пересекает ось  между значениями 13 и 15. Еще раз выполним эту программу на интервале от 13 до 15 с шагом 0,1.

x=13:0.1:15;

y=((x-9).*x-124).*x+708;

plot(x,y,'r','linewidth',3);grid

График функции изображен на рис. 2

Рис. 2

На этом интервале функция  непрерывна, монотонна и на концах интервала принимает значения разных знаков, т.е. внутри интервала существует единственный корень, который обозначим . Зададим  = 0,001.

  1. Уточнение корня

Используем метод Ньютона (касательных). Пусть  является начальным приближением к корню. Значение  является тем концом интервала, где знак функции совпадает со знаком второй производной.

Если график функции над касательной, то знак производной – плюс, если под касательной – минус. В данном случае график функции находится над касательной, значит знак второй производной – плюс. Поэтому в качестве  принимаем значение правой границы интервала, где значение функции больше нуля ( = 15).

Текст программы:

e=0.001;

k=0;

x=15;

f='x^3-9*x^2-124*x+708';

fz='3*x^2-18*x-124';

x1=x-eval(f)/eval(fz);

for i=1:25;

    r=abs(x-x1)-e;

    if r<0 break;end;

    k=k+1

    x=x1

    x1=x-eval(f)/eval(fz)

end

k =1    x = 14.2954    x1 = 14.2198

k =2    x = 14.2198    x1 = 14.2189

          Тогда  = 14,2189.

  1. Нахождение двух других корней характеристического уравнения

Разделим уголком  на :

Решим полученное квадратное уравнение:

;

;

;

.

Для каждого собственного значения  находим соответствующие им собственные векторы:

.

          Для  = 14,2189 однородная система имеет вид:

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Так как минор  0, то переменные  и  – базисные,  – свободная.

Рассмотрим первые два уравнения, в каждом из которых перенесем в правую часть третье слагаемое, заменив  и решим систему второго порядка относительно  и .

Пусть  = 1

          Тогда

.

          Находим длину этого вектора (т.е. его норму) и делим каждую координату на длину этого вектора:

;

.

          Для  = 4,914 однородная система имеет вид:

Пусть  = 1

          Тогда

.

          Находим длину этого вектора (т.е. его норму) и делим каждую координату на длину этого вектора:

;

.

Для  = -10,1329 однородная система имеет вид:

Пусть  = 1

          Тогда

.

          Находим длину этого вектора (т.е. его норму) и делим каждую координату на длину этого вектора:

;

.

Спектральное разложение матрицы

Введем матрицу , столбцы которой являются собственными ортонормированными векторами матрицы :

          Введем диагональную матрицу  с собственными значениями матрицы  на диагонали:

.

          Можно записать спектральное разложение матрицы  по базису ее собственных векторов и чисел в MATLAB:

L=[14.2189 0 0; 0 4.914 0; 0 0 -10.1329]

W=[0.7051 0.0423 -0.7079; 0.1530 -0.9838 0.0936; 0.6924 0.1742 0.7001]

A=W*L*W'

L =

   14.2189         0         0

         0        4.9140      0

         0             0     -10.1329

W =

    0.7051    0.0423   -0.7079

    0.1530   -0.9838    0.0936

    0.6924    0.1742    0.7001

A =

    2.0001    2.0008   11.9999

    2.0008    5.0002    0.0002

   11.9999    0.0002    1.9994

Похожие материалы

Информация о работе