Метод вращения Якоби

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра “Прикладная математика”

Лабораторная работа № 3

“Метод вращения Якоби”

Выполнила:

студентка группы ЭТ-401

Кожевникова Е. М.

Проверил:

доц. Вашакидзе Л. С.

Санкт-Петербург

2006

Идея метода – строится последовательность подобных матриц, стремящаяся к матрице диагонального вида.

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

a=[2 2 12;2 5 0;12 0 2];

for k=1:12,

disp(a)

disp('ВВЕДИТЕ ИНДЕКСЫ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ НАДДИАГОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ ')

IM=input('im=');                    

JM=input('jm=');                    

U=eye(3,3);

if (abs(a(IM,IM)-a(JM,JM))<0.0001) X=pi/4

else

disp('ИНАЧЕ X=.5*atan(2*a(IM,JM)/(a(IM,IM)-a(JM,JM)))=');

X=.5*atan(2*a(IM,JM)/(a(IM,IM)-a(JM,JM)));

X

end

disp('ФОРМИРУЕМ МАТРИЦУ ВРАЩЕНИЯ U')

k

U(IM,JM)=-sin(X);U(IM,IM)=cos(X);

U(JM,JM)=cos(X);U(JM,IM)=sin(X);

U

a=U'*a*U

disp('ПОСМОТРИТЕ НА ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ')

pause

end

eig(a)

end

РЕШЕНИЕ

     2     2    12

     2     5     0

    12    0     2

ВВЕДИТЕ ИНДЕКСЫ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ НАДДИАГОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ 

im=1

jm=3

X =

    0.7854

ФОРМИРУЕМ МАТРИЦУ ВРАЩЕНИЯ U

k =

     1

U =

    0.7071         0       -0.7071

         0       1.0000         0

    0.7071         0        0.7071

a =

   14.0000    1.4142    0.0000

    1.4142    5.0000   -1.4142

    0.0000   -1.4142  -10.0000

ПОСМОТРИТЕ НА ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

   14.0000    1.4142    0.0000

    1.4142    5.0000   -1.4142

    0.0000   -1.4142  -10.0000

ВВЕДИТЕ ИНДЕКСЫ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ НАДДИАГОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ 

im=1

jm=2

ИНАЧЕ X=.5*atan(2*a(IM,JM)/(a(IM,IM)-a(JM,JM)))=

X =

    0.1522

ФОРМИРУЕМ МАТРИЦУ ВРАЩЕНИЯ U

k =

     2

U =

    0.9884   -0.1517         0

    0.1517    0.9884         0

         0         0           1.0000

a =

   14.2170    0.0000   -0.2145

   -0.0000    4.7830   -1.3979

   -0.2145   -1.3979  -10.0000

ПОСМОТРИТЕ НА ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

   14.2170    0.0000   -0.2145

   -0.0000    4.7830   -1.3979

   -0.2145   -1.3979  -10.0000

ВВЕДИТЕ ИНДЕКСЫ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ НАДДИАГОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ 

im=2

jm=3

ИНАЧЕ X=.5*atan(2*a(IM,JM)/(a(IM,IM)-a(JM,JM)))=

X =

   -0.0935

ФОРМИРУЕМ МАТРИЦУ ВРАЩЕНИЯ U

k =

     3

U =

    1.0000         0         0

         0    0.9956    0.0933

         0   -0.0933    0.9956

a =

   14.2170    0.0200   -0.2135

    0.0200    4.9140    0.0000

   -0.2135    0.0000  -10.1310

ПОСМОТРИТЕ НА ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

   14.2170    0.0200   -0.2135

    0.0200    4.9140    0.0000

   -0.2135    0.0000  -10.1310

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ПОСМОТРИТЕ НА ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

   14.2189    0.0200    0.0000

    0.0200    4.9140    0.0002

   -0.0000    0.0002  -10.1329

ВВЕДИТЕ ИНДЕКСЫ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ НАДДИАГОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ 

im=1

jm=2

ИНАЧЕ X=.5*atan(2*a(IM,JM)/(a(IM,IM)-a(JM,JM)))=

X =

    0.0022

ФОРМИРУЕМ МАТРИЦУ ВРАЩЕНИЯ U

k =

     5

U =

    1.0000   -0.0022         0

    0.0022    1.0000         0

         0          0           1.0000

a =

   14.2189    0.0000    0.0000

   -0.0000    4.9140    0.0002

    0.0000    0.0002  -10.1329

ПОСМОТРИТЕ НА ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

   14.2189    0.0000    0.0000

   -0.0000    4.9140    0.0002

    0.0000    0.0002  -10.1329

ВВЕДИТЕ ИНДЕКСЫ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ НАДДИАГОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ 

im=2

jm=3

ИНАЧЕ X=.5*atan(2*a(IM,JM)/(a(IM,IM)-a(JM,JM)))=

X =

  1.1665e-005

ФОРМИРУЕМ МАТРИЦУ ВРАЩЕНИЯ U

k =

     6

U =

    1.0000         0           0

         0        1.0000   -0.0000

         0        0.0000    1.0000

a =

   14.2189    0.0000    0.0000

    0.0000    4.9140   -0.0000

    0.0000    0.0000  -10.1329

ВОПРОСЫ

1.  Для каких матриц работает метод?

2.  Какое свойство сохраняет преобразование подобия?

3.  Определение преобразования подобия.

ОТВЕТЫ

1.  Метод работает только для симметричных матриц.

2.  Пусть {, } – собственная пара матрицы . Тогда {, } – собст-венная пара матрицы . Чтобы убедиться в справедливости этого свойства, достаточно подставить выражение  в верное для пары {, } равенство , имеем , откуда после умножения слева на матрицу  получим равенство . То есть, преобразование подобия сохраняет неизменным спектр любой матрицы.

3.  Определение. Матрицы  и  (квадратные) подобны, если существует матрица  той же размерности невырожденная (определитель не равен нулю) и выполняется равенство

В рассматриваемом методе в качестве подобия  применяется матрицы вращения. С помощью этих матриц можно систематически исключая поддиагональные элементы матрицы  привести ее к треугольному виду.