Циклический алгоритм исследования. Типы измерений и характер ошибок в них, страница 6

4. Эксцесс - ценральный момент четвёртого порядка:

m4=M([x-M(x)]4)

Aналогично aсиметрии, чаще используют коеффициент эксцессa a4:

a4=m4/s4

Эксцесс - количественная характеристика островершинности.

Островершиннные распределения имеют положительный эксцесс (рис а).

m4>0                                                   m4<0

            f(x)                                                     f(x)     

 


                      mx                            X                                                                  mx                                  X

(а)                                                                  (б)

Плосковершинные распределения имеют отрицательный эксцесс (рис.б). При m4= -2 кривые распадаются на две самостоятельные.

Непосредственно формулы расчёта для каждого из этих параметров (mx, D(x), a4,a4) будут зависеть от самой функции распределения f(x) и, следовательно, для различных законов распределения они будут различны.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

I.  Нормальное распределение Гаусса.

                                                                                   f(x)

M(x)=mx, D(x)=sx2, a3=0, a4=0                                           mx                   X

Примеры применения:

Погрешности обработки и измерения, вызванные одновременным действием большого числа факторов:

-  погрешности линейных и угловых размеров;

-  погрешности ошибок измерения;

-  погрешности оценок шероховатости, массы деталей, механических свойств материалов и др.

II.  Равномерное (прямоугольное)f(x)

                               (b-a)-1

M(x)=(a+b)/2 ; D(x)= (b-a)2/2;  a3=0; a4= -1.2                      a             b          x

Примеры применения:

-  ошибка округления при проведении числовых расчётов;

-    время ожидания обслуживания при точно периодическом включении обслуживающего устройства.

III.        Экспоненциальное (показательное)                    f(x)

                                           l

M(x) = q+ l-1; D(x) = l-2; a3= 2; a4= 6

x

Примеры применения:

Применяется для определения времени безотказной работы при постоянной интенсивности отказов:

-     время обслуживания специализированным устройством в некоторых системах массового обслуживания;

-  долговечность изделия, работающего в нормальном режиме эксплуатации.

IV.       Распределение Вейбула-Гнеденко

Частные случаи распределения:                            f(x)      aÎ(0,1)

a=1- экспоненциальное                                                                 a>1

a=2- распределение Релея                                                                        

a=1

                                                                 x

M(x)=l-1/av1; D(x)=l-2∕α(v2-v1)2

Примеры применения:

Долговечность изделия, работающего в режиме приработки (0<a<1),нормальной эксплуатации (a=1) или износа и старения (a>1).   

Однако на практике ни мат. ожидание, ни генеральную дисперсию по этим формулам не рассчитывают и поступают проще:

Например, для случая нормального распределения вместо мат. ожидания центр распределения оценивают по среднему арифметическому :

А дисперсию и, соответственно, среднее квадратическое отклонение рассчитывают по формуле:

В чем же разница между mx и   и соответственно между sx и Sx?

Чтобы ответить на этот вопрос введем ещё два фундаментальных понятия статистической теории: генеральной совокупности и выборки

Генеральная совокупность – это совокупность всех возможных результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть проведены при данных условиях. Генеральная совокупность – это теоретическое понятие, т.к. проведение неограниченно большого количества испытаний невозможно. Поэтому вынуждены прибегать к ограниченному числу измерений, которое получило название выборки.