Циклический алгоритм исследования. Типы измерений и характер ошибок в них, страница 6

4. Эксцесс - ценральный момент четвёртого порядка:

m₄₌M([x-M(x)]⁴)

Aналогично aсиметрии, чаще используют коеффициент эксцессa a₄:

a₄=m₄/s⁴

Эксцесс - количественная характеристика островершинности.

Островершиннные распределения имеют положительный эксцесс (рис а).

m₄>0                                                   m₄<0

            f(x)                                                     f(x)     

 

                      m_{x                            X}                                                                  m_{x                                  X}

(а)                                                                  (б)

Плосковершинные распределения имеют отрицательный эксцесс (рис.б). При m₄= -2 кривые распадаются на две самостоятельные.

Непосредственно формулы расчёта для каждого из этих параметров (m_x, D(x), a_4,a₄) будут зависеть от самой функции распределения f(x) и, следовательно, для различных законов распределения они будут различны.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

I.  Нормальное распределение Гаусса.

                                                                                   f(x)

M(x)=m_x, D(x)=s_x², a₃=0_, a₄=0                                           m_{x                   X}

Примеры применения:

Погрешности обработки и измерения, вызванные одновременным действием большого числа факторов:

-  погрешности линейных и угловых размеров;

-  погрешности ошибок измерения;

-  погрешности оценок шероховатости, массы деталей, механических свойств материалов и др.

II.  Равномерное (прямоугольное)f(x)

                               (b-a)^-1

M(x)=(a+b)/2 ; D(x)= (b-a)²/2;  a₃=0; a₄= -1.2                      a             b          x

Примеры применения:

-  ошибка округления при проведении числовых расчётов;

-    время ожидания обслуживания при точно периодическом включении обслуживающего устройства.

III.        Экспоненциальное (показательное)                    f(x)

                                           l

M(x) = q+ l^-1; D(x) = l^-2; a₃= 2; a₄= 6

q  x

Примеры применения:

Применяется для определения времени безотказной работы при постоянной интенсивности отказов:

-     время обслуживания специализированным устройством в некоторых системах массового обслуживания;

-  долговечность изделия, работающего в нормальном режиме эксплуатации.

IV.       Распределение Вейбула-Гнеденко

Частные случаи распределения:                            f(x)      aÎ(0,1)

a=1- экспоненциальное                                                                 a>1

a=2- распределение Релея                                                                        

a=1

                                                                 x

M(x)=l^-1/av₁; D(x)=l^-2∕α(v₂-v₁)²

Примеры применения:

Долговечность изделия, работающего в режиме приработки (0<a<1),нормальной эксплуатации (a=1) или износа и старения (a>1).   

Однако на практике ни мат. ожидание, ни генеральную дисперсию по этим формулам не рассчитывают и поступают проще:

Например, для случая нормального распределения вместо мат. ожидания центр распределения оценивают по среднему арифметическому :

А дисперсию и, соответственно, среднее квадратическое отклонение рассчитывают по формуле:

В чем же разница между m_x и   и соответственно между s_x и S_x?

Чтобы ответить на этот вопрос введем ещё два фундаментальных понятия статистической теории: генеральной совокупности и выборки

Генеральная совокупность – это совокупность всех возможных результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть проведены при данных условиях. Генеральная совокупность – это теоретическое понятие, т.к. проведение неограниченно большого количества испытаний невозможно. Поэтому вынуждены прибегать к ограниченному числу измерений, которое получило название выборки.