Литейное производство No 5, 2002, с.22-28
М.Д.Тихомиров, И.А.Комаров (ЦНИИ Материалов, Санкт-Петербург, 2002 г.)
Данная статья является третьей из серии статей по моделированию литейных процессов. В первых двух статьях обсуждались тепловая и усадочная задачи [1,2]. Помимо этого, более подробно алгоритмы решения тепловой задачи и некоторые общие вопросы моделирования, в том числе краткая характеристика вычислительных методов, рассматривались в [3]. В настоящее время, когда заводы проявляют все больший интерес к системам моделирования литейных процессов (СМ ЛП), заводские специалисты с завидной регулярностью задают вопросы связанные с общей оценкой адекватности математических методов применяемых в различных СМ ЛП. Наиболее часто при этом возникает вопрос: «Что лучше - конечные разности или конечные элементы?» В связи с этим было решено посвятить отдельную публикацию сравнительной оценке этих двух наиболее часто используемых численных методов.
При моделировании физических процессов, связанном с решением дифференциальных уравнений теории поля (тепловые, фильтрационные, диффузионные, деформационные, гидродинамические, электродинамические и т.п. процессы), наиболее часто используют следующие методы численного решения: метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов, метод граничных элементов.
Наиболее «сильным» методом вероятно следует считать метод граничных элементов (МГЭ), т.к. в своей основной формулировке он предполагает в пределах граничного элемента аппроксимацию распределения искомой функции (например функции температур) непосредственно по исходному дифференциальному уравнению которым описывается моделируемый процесс. (В других методах аппроксимация в рамках дискретной ячейки более искусственна.) Кроме того, при использовании МГЭ происходит понижение пространственного порядка, что теоретически ускоряет решение и снижает требования к ресурсам вычислительной техники. Однако, при моделировании литейных процессов МГЭ практически не используется, т.к. не смотря на свои многие положительные качества требует однородности физических свойств в рамках крупных граничных элементов. Это не соответствует физике большинства литейных процессов связанных с существенным изменением параметров процесса в локальных произвольных областях – например, при тепловыделении при затвердевании.
Метод конечных объемов (МКО) в определенном смысле является развитием разностных методов, хотя иногда рассматривается как некоторая промежуточная стадия между методом конечных разностей (МКР) и методом конечных элементов (МКЭ). Это вероятно не совсем справедливо, т.к. хотя МКО и учитывает произвольно ориентированные границы внутри разностной ячейки, но в основе своей предполагает ортогональную разностную разбивку (дискретизацию) на прямоугольные параллелепипеды и обладает рядом других особенностей присущих разностным методам. Во всяком случае, МКО пока не получил при моделировании литейных процессов широкого распространения. (Кроме пожалуй задачи заполнения, где применение МКЭ затруднено, а МКР не дает необходимого соответствия по геометрии заполняемой полости.) Неширокое распространение МКО вероятно связано именно с «промежуточным» характером метода - в тех случаях, когда необходимы произвольно ориентированные границы, лучше использовать собственно МКЭ, а когда допустимо представление геометрии в виде набора параллелепипедов, то проще решать задачу классическим МКР.
Два наиболее часто применяемых метода в СМ ЛП – это МКЭ и МКР. Разностные методы более старые, именно с ними связаны первые опыты численного моделирования физических процессов, а в 70-ых годах и первые успехи при создании систем компьютерного моделирования литейных процессов [4]. Конечно-элементный подход более молодой (по данным [5] впервые описан американскими исследователями в 1956 г.) и более «сильный», т.е. на уровне исходных посылок точнее соответствует уравнениям задач теории поля. Соответственно МКЭ требует меньше машинных ресурсов (меньше оперативной памяти), расчет идет быстрее (меньше затраты процессорного времени), результат расчетов может быть более адекватным. При моделировании различных физических процессов в 70-80-ых годах МКР и МКЭ имели примерно одинаковое распространение, несмотря на теоретические преимущества МКЭ. Дело в том, что МКЭ несколько сложнее для программирования, и, кроме того, использование МКЭ требует наличия специальных программ-«разбивщиков» на произвольные элементы-многогранники (чаще всего треугольные пирамиды). МКР же был хорошо освоенным методом, генерация разностной сетки для МКР требовала меньших усилий, для МКР было достаточно много опубликованных алгоритмов и программных библиотек.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
