Стационарные случайные функции, страница 5

Функция  H(iω) равна отношению  преобразований Фурье выходной и входной функций.       

Замечание. В соотношении(17) реакция системы Y(t)  в момент времени t  зависит от значений функции на входе   как в момент времени s<t, так и в момент времени s>t. В физических устройствах это невозможно, поэтому для них h(t,s) =0 для всех s>t.Это условие называют условием  физической осуществимости системы. Таким образом, функцию h(t,s) следует определить так:   

                                                            (18)

Вернемся к задачам нашего параграфа. Пусть на вход системы  (16) поступает СП  Х(t) с математическим ожиданием  и корреляционной функцией .Выходной процессY(t)  тогда имеет вид : . Найдем  и .

                      (21)

 (22)

Если СП  Х(t) стационарен, то

=

=     или                   (23)

Таким образом , если на вход подается стационарный ( хотя бы в широком смысле)

процесс, то на выходе процесс также стационарен  ( хотя бы в широком смысле).

Вычислим  спектральную плотность процесса Y(t) :

=   .                                

Итак,                                                               (24)

Найдем .   (25)

Для стационарного процесса  X(t)  получим формулу    

              (26)

При вычислении интеграла сделали замену

Обратимся теперь к вычислению взаимной спектральной плотности  процессов X(t) и Y(t). Пусть X(t)  представим  стохастическим интегралом  (формула 13):     , а

.  Тогда   =

,таким образом,                                                                      (27)

Взаимная спектральная плотность обладает следующими свойствами, вытекающими из свойства 2 спектральной плотности:  Итак,

.                                                        (28)

С учетом равенства (28) формула (27 ) принимает вид  

С другой стороны,      

=  ,     здесь η=   

Сравнивая полученные выражения   для взаимных ковариационных функций, получаем:

, то есть

                                        (29)

Рассмотрим  применение общих закономерностей , полученных выше, к частным случаям.

1.  Пусть , то есть   в среднем квадратичном смысле.

По формуле (21) имеем  .     Если X(t) стационарный СП ,то   =0    уже при n=1.

По формуле (22)  имеем  .   Если X(t) стационарный СП , то

                                             (30)

Найдем  с помощью формулы (30):        (31)

Законность  интегрирования под знаком интеграла следует из существования n-ой производной процесса X(t) , что равносильно сходимости несобственного интеграла

.

2.  Пусть , , и  - известные постоянные, k=0,1,…n, и X(t)- скалярный стационарный СП, n раз дифференцируемый на , со спектральной плотностью . Знаем , что любой  ССП представим в виде стохастического интеграла .  Тогда Y(t) – скалярный стационарный СП , ,  поскольку   

. По условию X(t) n раз с.к. дифференцируемый процесс , то , к=1,… n Тогда

   

                                             (32)        

3. Рассмотрим достаточно общий случай преобразований стационарного СП при его прохождении через линейную динамическую систему.

Пусть X(t), , - стационарный n раз с.к. дифференцируемый на Т скалярный СП с математическим ожиданием   и спектральной плотностью , а скалярный СП Y(t), , m раз  с.к. дифференцируем на Т и  имеет место соотношение:

, ,                                               (33)

в котором ,  - известные постоянные.

При достаточно больших , когда в системе затихли переходные процессы и система начинает работать в установившемся режиме, СП Y(t), , можно считать скалярным стационарным СП с математическим ожиданием , спектральной плотностью .

Имеем  в этом случае             ,                             (34)

    ,                           (35)            где функция  носит название частотной характеристики динамической системы, описываемой уравнением (33).

Результаты (34),(35) могут быть получены рассуждениями, аналогичными  рассуждениям предыдущего пункта 2.