Стационарные случайные функции, страница 2

Ковариационная функция  непрерывна, кусочно монотонна на отрезке , а значит, имеет на отрезке ограниченное изменение, в концах отрезка  имеет равные значения, следовательно, по признаку Дирихле ее ряд Фурье  равномерно к ней  сходится:

, где  

     и тогда по теореме СП X(t), , представим рядом Фурье.

        4.3.2. Стационарные случайные функции с непрерывным спектром

Результаты предыдущего параграфа можно представить в ином виде. Введем в рассмотрение функцию

Функция  - ступенчатая функция с некоррелированными случайными скачками в фиксированных точках , иначе говоря,  - СПНРП,  , . Как отмечалось в  такие процессы описываются функцией , которую в этой главе мы переобозначим: ,

                      и . Функция   также ступенчатая функция со скачками в точках . Ее производная  представляет собой линейную комбинацию -функций с коэффициентами :

                                                           (6)

Формулу  (1) теперь запишем как . Сумму   под знаком с.к. предела можно рассматривать как интегральную сумму для функции  по СПНРП . С учетом формулы   (2)  выражение для  можно рассматривать как с.к. предел интегральных сумм для функции  по ступенчатой функции :

.

Теперь формулы (1) и (2) можно переписать в виде

                                                                                                    (7)

                                                                       (8)

При этом необходимым и достаточным условием сходимости стохастического интеграла (7) является сходимость интеграла (8)( см. раздел 3.9).

Поработаем с формулой (6).

.  Итак,

                                                                            (9)

Здесь использовано преобразование Фурье для функции

=     .  Равенства (9) и (8) означают, что функции  и  связаны взаимно обратными преобразованиями Фурье. Они обладают всеми свойствами , присущими этим преобразованиям. В частности, чем «шире»  , тем « уже»          ( заметим, что при условии , функция  совпадает с функцией  ).

Отметим еще, что интеграл (9) понимается в смысле главного значения и только, если  - абсолютно интегрируемая функция, интеграл (9) – обычный несобственный интеграл.

Соотношения (8),(9) называют теоремой Винера- Хинчинадля ССП.    

Из соотношения (6) :

                                                  (10)

Из соотношения (8):

                                        (11)

В различных приложениях теории СП  величину  зачастую интерпретируют как “энергию” скалярного ССП, а - как плотность энергии  на единицу частоты. Термин “энергия” обязан своим появлением реализациям СП в электротехнике(напряжение или силаэлектрического тока). Энергия электрического тока пропорциональна квадрату    энергии, приходящейся в среднем на гармоническое колебание частоты ω.

Cпектральная плотность как и корреляционная ( коввариационная ) функция служит характеристикой СП , она  используется при применении частотных методов исследования стационарных систем. Однако это не независимая характеристика СП:  и   связаны соотношением (9).

Подводя итог всему сказанному   выше в этом разделе, видим, что от представления СП в виде суммы (1) можно перейти  к его интегральному  представлению (7), тем самым  от счетного множества частот {}   , характеризующих СП, к  несчетному (непрерывному) множеству частот, также  определяющих этот процесс.

Получим результаты (8),(9) формально для любого ССП, представимого стохастическим интегралом (7). Итак, пусть - некоторый скалярный ССП,  - СПНРП с нулевым математическим ожиданием и  с вероятностью 1, имеющий конечный момент 2 порядка. Вспомним формулу (7) : именно  так связаны функции  в формуле  (10), следовательно,   является интенсивностью  СПНРП      , а     - его ковариацинной функцией. Тогда согласно формуле 10  :

, или полагая  , - получили формулу (8) настоящего раздела. Из нее немедленно следует формула (11), которая в свою очередь означает, что  конечна тогда и только тогда, когда интеграл (11)  сходится. Но это же условие ( сходимость интеграла (11)) необходимо и достаточно  для существования стохастического интеграла (7) или  для представления  СП   в виде стохастического интеграла (7) ( см. ).