Ковариационная функция непрерывна, кусочно монотонна на
отрезке
, а значит, имеет на отрезке ограниченное
изменение, в концах отрезка имеет равные значения, следовательно, по признаку
Дирихле ее ряд Фурье равномерно к ней сходится:
,
где
и
тогда по теореме СП X(t),
, представим рядом
Фурье.
4.3.2. Стационарные случайные функции с непрерывным спектром
Результаты предыдущего
параграфа можно представить в ином виде. Введем в рассмотрение функцию
Функция - ступенчатая функция с некоррелированными
случайными скачками в фиксированных точках
, иначе
говоря,
- СПНРП,
,
. Как отмечалось в
такие
процессы описываются функцией
, которую в этой главе
мы переобозначим:
,
и
. Функция
также
ступенчатая функция со скачками в точках
. Ее
производная
представляет собой линейную комбинацию
-функций с коэффициентами
:
(6)
Формулу (1) теперь
запишем как . Сумму под знаком с.к. предела
можно рассматривать как интегральную сумму для функции
по
СПНРП
. С учетом формулы (2) выражение для
можно рассматривать как с.к. предел
интегральных сумм для функции
по ступенчатой функции
:
.
Теперь формулы (1) и (2) можно переписать в виде
(7)
(8)
При этом необходимым и достаточным условием сходимости стохастического интеграла (7) является сходимость интеграла (8)( см. раздел 3.9).
Поработаем с формулой (6).
.
Итак,
(9)
Здесь использовано
преобразование Фурье для функции
=
. Равенства (9) и (8) означают, что
функции
и
связаны
взаимно обратными преобразованиями Фурье. Они обладают всеми свойствами ,
присущими этим преобразованиям. В частности, чем «шире»
,
тем « уже»
( заметим, что при условии
, функция
совпадает
с функцией
).
Отметим еще, что
интеграл (9) понимается в смысле главного значения и только, если - абсолютно интегрируемая функция,
интеграл (9) – обычный несобственный интеграл.
Соотношения (8),(9) называют теоремой Винера- Хинчинадля ССП.
Из соотношения (6) :
(10)
Из соотношения (8):
(11)
В различных
приложениях теории СП величину зачастую
интерпретируют как “энергию” скалярного ССП, а
- как плотность энергии на единицу частоты.
Термин “энергия” обязан своим появлением реализациям СП в
электротехнике(напряжение или силаэлектрического тока). Энергия электрического
тока пропорциональна квадрату энергии, приходящейся в среднем на
гармоническое колебание частоты ω.
Cпектральная
плотность как и корреляционная ( коввариационная ) функция служит
характеристикой СП , она используется при применении частотных методов
исследования стационарных систем. Однако это не независимая характеристика СП: и
связаны
соотношением (9).
Подводя итог всему
сказанному выше в этом разделе, видим, что от представления СП в виде суммы
(1) можно перейти к его интегральному представлению (7), тем самым от
счетного множества частот {} ,
характеризующих СП, к несчетному (непрерывному) множеству частот, также
определяющих этот процесс.
Получим результаты
(8),(9) формально для любого ССП, представимого стохастическим интегралом (7).
Итак, пусть - некоторый скалярный ССП,
- СПНРП с нулевым математическим ожиданием
и
с вероятностью 1, имеющий конечный момент
2 порядка. Вспомним формулу (7)
: именно так связаны
функции
в формуле (10),
следовательно,
является интенсивностью
СПНРП
, а
- его
ковариацинной функцией. Тогда согласно формуле 10
:
, или
полагая
,
-
получили формулу (8) настоящего раздела. Из нее немедленно следует формула (11), которая
в свою очередь означает, что
конечна тогда и только
тогда, когда интеграл (11) сходится. Но это же условие ( сходимость интеграла
(11)) необходимо и достаточно для существования стохастического интеграла (7)
или для представления СП
в виде стохастического
интеграла (7) ( см.
).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.