Стационарные случайные функции, страница 4

Рассмотрим пример. Пусть X(t), , - скалярный ССП, его спектральная плотности равна    Ковариационная функция СП X(t) имеет вид . Чтобы СП X(t) обладал свойствами белого шума, значение параметра N должно быть большим, но тогда большой будет и дисперсия .

Чтобы найти предел  при  введем функцию

;

. Результат следует из равенств .   Если теперь формально продифференцировать функцию  по  приходим к выражению: .

Отметим еще, что для белого шума справедливо утверждение: сечения белого шума, взятые сколь угодно близко друг к другу, являются некоррелированными с.величинами.

В принципе при фиксированном N значение коэффициента корреляции сечений  и  значимо, если величина  достаточно мала, так как . Поэтому незначимые значения корреляции будут получаться при достаточно большом значении  (см. ).

Рассмотренный СП  X(t), , является одной из моделей белого шума.

В качестве другой модели белого шума часто используют СП X(t), , с экспоненциальной ковариационной функцией  , .

Для такого процесса

 В этом случае   и . В этом процессе сечения его в различные моменты времени – не коррелированны.        Отметим еще в заключение, что термин «белый шум» возник по двум причинам. Во-первых, из физики известно, что белый свет имеет на всех частотах одинаковую интенсивность,стационарный  белый шум обладает тем же свойством ; во-вторых, подобные процессы впервые привлекли внимание в радиотехнике, где их наличие приводит к возникновению шумов в линиях радиопередач.

         4.4.  Преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении

  через линейную динамическую систему

Системы- это совокупность взаимодействующих предметов любой природы.   Математической моделью  системы называется совокупность четырех элементов: 1) пространства состояний;  2) пространства входных сигналов;  3) пространства выходных сигналов;   4) соотношений, связывающих элементы этих пространств.   Система считается заданной , если задана ее математическая модель.

Основной характеристикой модели является оператор системы, связывающий входные и выходные сигналы. Нас будут интересовать только линейные операторы:

,                                                       (16)

где Х(t)- входной сигнал,     Y(t)-выходной сигнал системы.

Стационарной ( однородной) системой называется такая система, у которой при любом сдвиге входного сигнала во времени без изменения его формы, т.е. при замене Х(t) на X(t-h ) при любом h , выходной сигнал  претерпевает тот же сдвиг во времени, тоже не изменяя своей формы.

Далее будем рассматривать только такие линейные системы и называть их просто системами.   

Входной  сигнал X(t) как непрерывную функцию  можно представить     разложением на бесконечно малые  мгновенные импульсы X(t)=, тогда получаем выражение для выходного сигнала 

                                      (17)

Функцию  h(t,η) – реакцию системы в момент времени t на единичный мгновенный импульс  δ(t-η) в момент времени η называют импульсной переходной функцией системы.

Для стационарных систем  h(t,η)= h(t-η).

Основной характеристикой систем (линейных однородных ) является тот факт, что такая система неограниченно долго  усиливает без изменения его формы действующий входной сигнал, представляющий собой экспоненту . Воспользуемся формулой (17) :

. Функцию

                                                               (18)

называют  передаточной функцией (линейной однородной) системы. Поскольку функции

H и h связывает преобразование Лапласа, при этом  функция  H(s)- функция комплексного переменного s, регулярная в полуплоскости  b = Res > α, где α – показатель роста функции

h(t) , то обратное преобразование  Лапласа имеет вид

                               (19)

Перепишем равенство (17) для стационарной системы : .

Умножим обе части полученного равенства на   и  проинтегриркуем по t:   (после замены t-s на τ ).  Приняв во внимание равенство (18) получаем

                                    (20)