Определение z-передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы регулирования

1 Постановка задачи

Схема № 1, вариант № 3.

Система регулирования имеет в своем контуре цифровую вычислительную машину (ЦВМ). Блок-схема системы с ЦВМ и эквивалентная структурная схема приводятся на рисунках 1 и 2 соответственно.

Рисунок 1 – Блок-схема системы регулирования с ЦВМ

Рисунок 2 – Эквивалентная структурная схема системы регулирования с ЦВМ

Найти -передаточные функции разомкнутой  и замкнутой  системы в предположении, что запаздывание в ЦВМ отсутствует и можно пренебречь влиянием квантования по уровню, т.е. можно рассматривать линейную задачу. Проверить устойчивость СУ с помощью алгебраического критерия Гурвица и с помощью критерии Найквиста с использованием логарифмических псевдочастотных характеристик.

Рассчитать и представить в виде графика переходную характеристику системы.

Передаточная функция непрерывной части

.

Численные значения коэффициентов: общий коэффициент усиления , постоянные времени , ,  период дискретности ЦВМ .

2 Построение переходной характеристики

2.1 Передаточные функции системы

Передаточная функция  разомкнутой системы может быть найдена согласно [3]:

,                  (1)

где  − переходная функция непрерывной части в дискретные моменты времени , а  представляет собой -преобразование этой функции.

Поскольку переходная функция  является преобразованием Лапласа от передаточной функции непрерывной части , деленной на , т.е.

, то часто используют символическую запись формулы (1)

.

При этом дискретная передаточная функция может определяться в следующей последовательности:

,(2)

, .

-преобразование каждого слагаемого в правой части (2) нетрудно определить, воспользовавшись таблицей -преобразования [1, 3],

,

, .

Окончательное выражение или

.

Подстановка численных значений дает

.                  (3)

Передаточная функция замкнутой системы

,

или

.

Подстановка численных значений дает

.                   (4)

2.2 Переходная характеристика замкнутой дискретной системы

Перепишем выражение для передаточной функции (4):

.                                                                     (5)

Передаточной функции (5) соответствует уравнение в обратных разностях

,

где  − переходная функция замкнутой системы в дискретные моменты времени ,

 − задающее воздействие в виде единичного постоянного сигнала.

График переходной характеристики изображен на рисунке 3.

Переходная характеристика, интерполированная кубическими сплайнами Эрмита, изображена на рисунке 4.

Программа построения переходной характеристики приведена в приложении А.

3 Определение устойчивости дискретной САУ

3.1 Устойчивость по алгебраическому критерию Гурвица

3.1.1 Использование критерия для исследования устойчивости
дискретных систем

Чтобы применить критерий устойчивости Рауса-Гурвица к дискретной системе , произведем замену переменной, введя новую переменную  подстановкой:

.                                         (6)

Области устойчивости в виде круга радиуса 1 в плоскости  (или полосы шириной  левее мнимой оси в плоскости ) соответствует вся левая полуплоскость комплексной плоскости новой переменной . Границей устойчивости при этом является вся мнимая ось: изменению  на  соответствует изменение  от  до . Таким образом, в результате такой подстановки получается уравнение (передаточная функция), условия устойчивости для которого совпадают с условиями устойчивости непрерывных систем. Поэтому к нему непосредственно могут быть применены все известные для непрерывных систем критерии устойчивости. Для применения критерия Рауса-Гурвица надо использовать знаменатель  передаточной функции (4) системы.

3.1.2 Составление определителей Гурвица

У системы

.

После подстановки сюда выражения (6) получаем

.

Раскрытие скобок и отбрасывание знаменателя дает

Подставив численные значения, получаем

.               (7)

Коэффициенты полинома (7) положительны, необходимое условие устойчивости системы выполнено.

Второй определитель Гурвица

.

Определитель положителен, следовательно, система устойчива