Для задач с ограничениями используются специальные методы оптимизации, наиболее известными из которых являются принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана. Наиболее удобен для решения практических задач в силу своей простоты принцип максимума. Рассмотрим этот метод для задач с ограничением на управление.
Основная
формулировка принципа максимума соответствует задаче обеспечения минимума
функционала путем выбора оптимального управления в пределах некоторой области
допустимых управлений: .
Для достижения минимума функционала (28) при заданных уравнениях объекта управления (25.1) необходимо достижение максимума функции Гамильтона по управлению
(37)
при
фиксированных и
,
соответствующих экстремуму, и соблюдении условий трансверсальности.
Следует подчеркнуть, что речь здесь идет о достижении абсолютного экстремума.
Отметим также важную особенность, определяющую удобство применения принципа максимума: уравнение (25.11) позволяет свести задачу обеспечения минимума функционала к задаче обеспечения максимума функции Гамильтона как функции одной или нескольких переменных – составляющих вектора управления U. Предусматривается решение такой задачи для всех моментов времени в пределах рассматриваемого интервала.
Обычно область С определяется
неравенствами , j=1,2,...,r.
Оптимальное управление на основе (25.11) может быть получено в следующих вариантах:
- как локальный экстремум внутри области C в соответствии с условиями (25.7);
- как абсолютный
экстремум на границе области С ( или
);
- как кусочно-непрерывная функция, на отдельных временных интервалах совпадающая с границами, а на других - принимающая значения внутри области C.
В последнем случае для точек разрыва управления (при t=t*) следует учитывать недопустимость скачкообразного изменения переменных состояния объекта управления (условия припасовывания):
, i=1,2,...,n;
и условия Вейерштрассе-Эрдмана:
, i=1,2,...,n;
.
Для того что бы выяснить насколько оптимально решение по критерию Красовского , решим эту задачу с помощью принципа максимума методом Ньютона.
Решение задачи методом Ньютона включает в себя следующие шаги:
1. Выбирается
некоторое начальное приближение .
2. Решается
- система с начальными
условиями
,
на интервале
.
3. Вычисляется
вектор .
4. В
соответствии с формулой Тейлора, , откуда
5. Определяется
следующее приближение для вектора p0:
,
где скалярный множитель
.
Выбор величины sпроисходит
из требования
. В
качестве нормы
принимают
либо
, либо
.
6. Проверяется
условие , i
= 1, 2, …, невыполнение которого возвращает алгоритм к п.1. Здесь
- любая малая положительная
величина.
Матрица – обратная матрице частных
производных
.
В качестве -системы
следует принять совместное решение систем (17) и (24).
Управление находится из принципа максимума :
(26)
В соответствии с условиями трансверсальности следует принять функцию невязок в виде(27):
(27)
Далее, решим исходную систему данным методом, используя те же начальные параметры что и для алгоритма с прогнозирующей моделью. :
Полученные результаты :
при t =3.5 сек.
В данном случае следует пояснить : как видно из алгоритма решения методом Ньютона - решается задача с правым свободным концом при предельных режимах отклонения угла крена. Данное решение может быть принято как оптимальное по быстродействию , однако следует учесть что после совершения маневра ЛА не восстанавливает свое исходное состояние в пространстве, и продолжает движение с креном 1.4 рад.
В случае , если возникнет необходимость обеспечить
исходное состояние ЛА в пространстве связанной системы координат, то можно
решить эту задачу добавив в вектор конечных состояний условие при этом решение будет выглядеть
следующим образом :
при t =11.8 сек.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.