Однако при достаточной сложности модели объекта управления это оказывается слишком трудоёмким, и приходится применять численные методы оптимизации.
Остановимся подробнее на важнейшем в теории оптимального управления понятии функционала.
Функционал – это числовая функция, определенная на некотором множестве функций. Другими словами, функционал формализует закон, по которому каждой функции X из некоторого множества, или класса, функций ставится в соответствие число J (рисунок 112):
.
(19)
Здесь X – возможно векторная функция, называемая также кривой или точкой функционального пространства, f0 – интегрант.
Решение задачи
оптимизации функционала состоит в нахождении его экстремума, а также функции из заданного множества (допустимой области
C функционального
пространства), доставляющей этот экстремум:
или
.
Понятие экстремума функционала, а также необходимые и достаточные условия достижения экстремума во многом совпадают с аналогичными понятиями и условиями для функции.
Функционал
достигает локального экстремума на кривой x0(t), если разность J(x0)–J(x)
сохраняет знак в некоторой окрестности x0, т.е. при , где
– области определения функционала.
Если для всех
, то x0 доставляет
функционалу абсолютный максимум, если
– абсолютный
минимум.
Первое необходимое условие достижения локального экстремума: dJ=0, где dJ – первая вариация, или первый дифференциал функционала.
Второе
необходимое условие: для минимума или
для максимума. Выполнение этого условия
проверяется на кривых, удовлетворяющих первому необходимому условию. Здесь d2J – вторая
вариация, или второй дифференциал функционала.
Достаточное условие локального экстремума состоит в одновременном выполнении первого и второго необходимых условий при строгом неравенстве во втором.
Оптимизация по критерию Красовского:
Для процесса описываемого уравнением:
, оптимальным в смысле минимума функционала
, является управление(при
)
, где V-
решение линейного уравнения в частных производных:
,
Здесь V
- непрерывная функция, имеющая непрерывные производные по x,t.
В выражении для I
слагаемое
соответствует "работе"
управлений в оптимальной системе.
Как классический функционал, так и функционал обобщенной работы А.А. Красовского дает возможность учесть гладкие ограничения на управление. Вообще говоря, процесс задания параметров функционала является многоэкстремальной многомерной задачей, решаемой в сочетании с теорией экспертных систем. Следует также отметить, что минимизация функционала обобщенной работы эквивалентна минимизации функционала Больца, при дополнительном изопараметрическом ограничении
.
Это интегральное равенство характеризует задание обобщенной работы управлений в оптимальной системе . Отсюда происходит название ФОР.
Теперь , используя данный критерий применительно к системе (17) , запишем минимизируемый функционал
, (20)
из которого :
, (21)
с учетом ограничений Q1 и Q2 , запишем гамильтониан:
. (22)
Определим из условия управление как
.
Далее определяются функции невязки и граничные условия :
(23)
(24)
В случае учета ограничений на управление, система 23 примет вид:
4. Алгоритм с прогнозирующей моделью
В данной задаче для решения поставленной задачи используется алгоритм с прогнозирующей моделью.
1) Находится гамильтониан:
.
(25)
2) находится управление из условия :
(26)
3) Полагается :
,
4) Интервал оптимизации разбивается на шаги
5) Полагается t=t0
6) Система уравнений 17 интегрируется в прямом
времени при u=0 от t
до
7) Вычисляются граничные условия для p:
.
8) Интегрируются совместно системы 17 и 24 в обратном времени вдоль решения полученного в п.6
9) Вычисляется u0
10) С управлением, найденным в п.9 интегрируются система 17 на 1 шаг вперед.
11) Если то алгоритм завершает работу. Если
нет, то
, возврат к п.6
Программный код, реализующий данный алгоритм представлен в приложении А.
5. Результаты моделирования
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.