Влияние столкновений. Влияние ионизации на плотность нейтрального газа, страница 4

Выражение Чандрасекар [46] назвал коэффициентом динамического трения.

Не станем выводить все эти коэффициенты диффузии, но проиллюстрируем их на одном простом примере рассеяния электронов на ионах. Здесь главным эффектом является изменение скоростиперпендикулярно исходному направлению движения. Поскольку каждое отклонение происходит в случайном направлении, имеем задачу случайного блуждания в пространстве скоростей, так что в среднем квадрат величины есть сумма квадратов , приобретаемых в каждом столкновении. Если N — число столкновений за секунду, то выражение

                                                                  (4.25)

есть искомый коэффициент диффузии. Из рис. 4.2, а следует, что

                                                                  (4.26)

Однако согласно рис. 4.1 имеем , так что

.

Из уравнения   (4.20)   и рис. 4.2,6 получим выражения для и , это дает

                                 (4.27)

Число частиц плазмы, для которых параметр столкновений находится в интервале р, p + dp, равно их числу в цилиндрическом слое длиной vс радиусом между р, p + dp, т. е. величине 2πnvpdp, где п — число рассеивающих частиц в единице объема. Суммирование [уравнение (4.25)] приводит к выражению

Заменив р/р_о на s, получим

                                               (4.28)

При больших s подынтегральное выражение примерно равно 1/s. Но интеграл от 1/sот любого нижнего предела до бесконечности бесконечен, что явно неприемлемо. Это означало бы, что взаимодействие с далекими частицами столь сильно, что частица, попавшая в плазму, немедленно рассеется на 90°, т. е. вообще не сможет двигаться. Это неправильное заключение меняется, если учесть экранирование.

Используя результаты разд. 4.4, мы неявно предполагали, что любая заряженная частица взаимодействует с любой другой заряженной частицей по закону Кулона и не приняли во внимание эффект экранирования [см. (3.18)]. Можно аппроксимировать экспоненциальный спад потенциала вокруг движущегося заряда, предположив, что внутри сферы радиуса λ_D экранирование несущественно, а вне этой сферы взаимодействие отсутствует. Учтем это, взяв в качестве .верхнего предела в (4.28) величину

                                                            (4.29)

Параметр р₀ рассеяния на 90° — величина порядка атомного размера; это приводит к тому, что Λ обычно находится в диапазоне 10⁴—10⁵. При Λ>> 1 имеем

                                                           (4.30)

Обычно Λ настолько большая величина, что; пренебрегая величиной 0,5 в (4.30), получим

                                                  (4.31)

Используя р_о из (4.21), найдем

                           (4.32)

Вычисление дает правильный результат, поскольку интеграл в (4.28) или (4.30) нечувствителен к верхнему пределу. Это означает, что выбор Λ не оказывает влияния на (4.32). Например, типичное значение ln Λ равно 10, что соответствует Λ =22 000. Пусть интеграл обрезан на вдвое меньшей величине, т. е. при Λ = 11 000. Тогда ln Λ станет равным 9,3, т. е. изменится на 7%. В лабораторных условиях почти всегда выбор ln Λ = 10 достаточно точен и дальнейшее вычисление ln Λ обычно не проводится.

Следуя [161], мы вычислили только один из коэффициентов диффузии, и то для особого случая рассеяния электрона на ионах. Полезно иметь результаты и для других случаев. Они получены Чандрасекаром [45, 46] и представлены ниже. В этих соотношениях введены следующие обозначения:

т — масса первичного электрона или иона,

m_f— масса полевой или рассеивающей частицы,

Ze— заряд первичной частицы,

Z_fe— заряд рассеивающей частицы, а также параметр

 (4.33)

равный отношению скорости первичной (рассеиваемой) частицы к корню из среднеквадратичной двумерной скорости рассеивателей. Тогда соотношения Чандрасекара имеют вид