Процесс формирования пространственной структуры электромагнитного поля в резонаторе лазера, расчет структуры поля методом Фокса-Ли: Методические указания к лабораторно-практической работе, страница 4

a1       

U_l(r₂)=(-1)^li^l-1Rexp(iRL)/B∫ U_l(r₁)exp[(Ar₁²+Dr₂²)iπ/λB] J_l(Rr₁r₂/B]r₁dr₁                             (7)

                         0     

где J_l(x) - функция Бесселя l-порядка.

Для основной моды и всех других осесимметричных пучков поле не зависит от угла φ, поэтому для них имеем l=0 и

a1        

U₀(r₂)= Rexp(iRL)/iB∫U₀(r₁)exp[(Ar₁²+Dr₂²)iπ/λB] J₀(Rr₁r₂/B)r₁dr₁                                      (8)

                   0     

1.4. Уравнения для расчета распределения поля в резонаторе.

Используя получаемые в скалярной теории дифракции уравнения, можно рассчитать пространственное распределение поля внутри полости оптического резонатора. Математически задача сведется к интегральному уравнению, получаемому из дифракционного уравнения (3) или (7), дополненного условием самосогласованности. Последнее отражает основное свойство поля в резонаторе - то, что излучение, пройдя по резонатору полный обход, должно самовоспроизвестись. Например, для осесимметричных распределений и в случае, когда апертуру одного из зеркал можно принять неограниченной, из ур.(8) получаем следующее интегральное уравнение:

a1        

γU(r₂)= R/B∫U(r₁)exp[(Ar₁²+Dr₂²)iπ/λB] J₀(Rr₁r₂/B)r₁dr₁                                                      (9)

                   0 

где А, В, D - матричные элементы полного обхода резонатора.

Множитель 7 отражает тот факт, что часть излучения уходит за края зеркал, то есть существуют дифракционные потери. (Множитель ехр(iRL)/i можно считать включенным в γ ) Можно говорить, что U(r) есть собственная функция, а γ - собственное значение интегрального уравнения. Нетрудно получить формулу, связывающую величину γ с величиной дифракционных потерь t_d за полный обход резонатора: t_d = 1- γ². Если же требуется принять в расчет ограниченность апертуры обоих зеркал резонатора, то математическую формулировку задачи мы получим, применяя дважды преобразование поля типа (8). Сначала для полупрохода резонатора в прямом направлении, а затем (после умножения на коэффициент отражения зеркала) для полупрохода в обратном направлении.

Для некоторых специальных случаев резонаторов (конфокальный, плоскопараллельный резонаторы и некоторые другие) различными авторами исследованы решения соответствующих интегральных уравнений, в том числе получены аналитические формулы для собственных функций, см., например, [3,4]. Но в большинстве случаев решения могут быть найдены лишь численными методами. Важнейший способ численного решения задачи расчета поля в лазерном резонаторе, ставший в настоящее время классическим, предложили в работе [5] Фоке и Ли.

1.5. Итерационный метод Фокса-Ли.

Фоке и Ли предложили алгоритм расчета соответствующий физике процесса формирования пространственной структуры поля в резонаторе, который состоит в следующем: задается в качестве начального случайное распределение поля вблизи одного из зеркал резонатора, затем с помощью интеграла Кирхгофа-Френеля рассчитывается распределение поля вблизи другого зеркала; после умножения на коэффициент отражения зеркала это распределение принимается "источником" и рассчитывается распределение на первом зеркале после обратного прохода; после умножения на коэффициент отражения первого зеркала, полученное распределение используется как начальное для следующего обхода резонатора. М далее расчеты в описанной последовательности повторяются многократно. Фоке и Ли показали, что после достаточно большого числа обходов резонатора, независимо от первоначального распределения поля, достигается такое распределение поля, которое при последующих обходах остается без изменений. Следовательно, это распределение является искомым решением интегрального уравнения.