Определение и свойства функции y=sin x и её график. Определение и свойства функции y=cos x и её график. Определение и свойства функции y=tgx и её график. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, страница 4

угол p - a. Итак, на отрезке [ 0 ; 2p ] при < 1 уравнение имеет два решения - a и p - a.

     Определение. Пусть число  по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа  называется угол , лежащий в пределах от - до +, синус которого равен . Обозначается .

Из рис. 26. видим, что , поэтому . Таким образом, все решения уравнения при < 1 получаются по формулам:

, , или в виде одной формулы

 , .                                (1)

При = 1 (из рис. 26.) решениями будут

при  = 1 или

при  = -1.

Так как , то из (1) имеем

или

  , при ,

, при , .

Аналогично, из по формуле (1) получим

, .

Итак, формула

,                                 

даёт решения уравнения   при  £ 1.

     2) Рассмотрим уравнение . Так как область значений косинуса - отрезок [ -1 ; 1 ], то при > 1 уравнение решений не имеет; если £ 1, то решений бесконечно много ( рис. 27).

Так как косинус имеет наименьший положительный период 2p, то достаточно найти все решения в пределах одного периода. По графику видно, что при < 1 на отрезке [ -p ; p ] есть два угла, косинус которых равен . Пусть на [ 0 ; p ] решением будет угол a, т. е. .Ввиду чётности косинуса на   [ -p ; 0 ] решением будет угол (-a).

Итак, на  [ -p ; p ]  уравнение   при  < 1   имеет два решения  a  и -a.

Определение. Пусть - число, по модулю не превосходящее единицы. Арккосинусом числа  называется угол , лежащий в пределах от 0 до p, косинус которого равен . Обозначается .

Так как a Π [ 0 ; p ], то .Таким образом все решения уравнения       

исчерпываются двумя сериями:

 ; , .

Эти серии обычно записываются в виде одной формулы:

 , .                             (2)

Если = 1, то (из рис. 27)  решениями будут

,

при  = 1 и

, .

Поскольку , то при  = -1 из (2) получаем       

 , .

Итак, формула

    , .

Даёт решения уравнения при  £ 1.

3)  Рассмотрим уравнение . Область значений тангенса - все действительные числа. Поэтому уравнение имеет решение при любом. Наименьший положительный период тангенса - p. В пределах этого периода тангенс принимает каждое значение ровно один раз. Построим на одном чертеже графики функций  и  (рис. 28.).

Определение. Арктангенсом числа  называется угол , тангенс которого равен . Обозначается .

На () уравнение

имеет одно решение

.

Учитывая периодичность функции получим, что все решения уравнения описываются формулой

, .

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, КОТОРЫЕ СВОДЯТСЯ К ПРОСТЕЙШИМ.

Уравнения вида

  , , , где - заданная функция, сводятся к простейшим соответствующими подстановками       

   , , .

Уравнения, однородные относительно  и , например, вида

,

или вида

 , 

решаются делением обеих частей на  (или ), или соответственно на  ( или  ) и последующей подстановкой . Потеря корней не происходит и посторонние не появляются, так как и не могут одновременно равняться нулю.

Уравнения

 

сводятся к однородному заменой

 .

После преобразований получаем уравнение

, которое равносильно исходному.

В общем случае уравнение вида

, где - функция, удовлетворяющая условию

для некоторого натурального числа n, решается делением обеих частей на  или .

Уравнение

,

можно решать делением обеих частей на  и введением вспомогательного угла j по формулам

.

Тогда уравнение  примет вид

, где      или    .

Уравнение вида

решается подстановкой

.

Тогда

.

В результате получаем уравнение

.

Уравнение, содержащее функции  в чётных степенях можно упростить используя формулы понижения степени:   

.