Определение и свойства функции y=sin x и её график. Определение и свойства функции y=cos x и её график. Определение и свойства функции y=tgx и её график. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, страница 2

.

Дадим геометрическую интерпретацию этого определения. Рассмотрим прямую , проходящую через точку  единичной окружности (рис. 22). Пусть для определённости . Точку пересечения этой прямой с обозначим . Из подобия треугольников  получаем: . Так как , , то

 

Таким образом, ордината точки  есть тангенс угла , поэтому прямую  называют линией тангенсов. 

Сопоставляя каждому действительному числу , его тангенс, получим функцию . Рассмотрим свойства функции более подробно.

1.  Функция  определена при всех действительных , кроме , где .

2.  Область значений функции  - вся числовая ось. . Следовательно, функция  - функция неограниченная.

3.  Тангенс - нечётная функция, так как

Её график симметричен относительно начала координат.

4.  Тангенс - периодическая функция с наименьшим положительным периодом .

5.  при всех

6.   при всех

7.  при всех

8.  Функция  экстремумов не имеет.

9.  Функция  возрастает в каждом промежутке , .

График функции  называетсятангенсоидой (рис. 23).

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА.

     Каждую тригонометрическую функцию некоторого аргумента можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию одного и того же аргумента. Действительно, из основного тригонометрического тождества следует, что , , откуда , .

     Предположив, что , разделим почленно основное тождество на , получим .

     Предположив теперь, что , разделим почленно основное тождество на , получим . Причём первая формула верна при , вторая при .

     Кроме того ,

.

     Учитывая определения тангенса и котангенса, получаем , , . Из равенства , выразим . Из равенства , получаем .

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС СУММЫ  (РАЗНОСТИ)  ДВУХ АРГУМЕНТОВ.

     Теорема. Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов, сложенному с произведением синусов:

                        (1)

Доказательство. Построим углы a и b с помощью единичной окружности, т.е. точки  и  такие, что векторы и образуют углы a и b с положительным направлением оси абсцисс. Угол между векторами и равен a - b (рис. 24).

Вычислим скалярное произведение этих векторов учитывая, что || = || = 1.

.

Теперь вычислим это же скалярное произведение с помощью координат:

  × = .

Сравнивая результаты вычислений, получаем требуемую формулу

.

Теорема доказана.

Формула (1) называется формулой косинуса разностидвух аргументов. Остальные формулы получаются как следствие этой теоремы.   

      Косинус суммы.

.

Получили

.                 (2)

Синус суммы.

.

Получили

 .                   (3)

Синус разности.

.

Окончательно

 .                 (4)

     Тангенс суммы.

Разделив числитель и знаменатель этой дроби на произведение , получим

 .                                    (5)

     Тангенс разности.

  .

Получили

 .                                     (6)

Формулы (1) - (6) называются формулами сложения.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ.

Значения тригонометрических функций некоторых острых углов даны в следующей таблице:

Функция