Неявный метод Эйлера (Отчет № 1 по вычислительной практике)

г. Новосибирск ММФ НГУ группа 3112

Выполнил: Эльясов А.Б

Проверил: Аверина Т.А

Отчет № 1 по вычислительной практике

Неявный метод Эйлера

(Билет №15)

22.11.2005

План отчета

1. Постановка задачи
2. Метод решения (разностная схема, формула решения сеточного уравнения)
3. Исследование порядка аппроксимации схемы и ее устойчивости
4. Логическая схема или блок схема программы
5. Описание тестовых расчетов (тестовые функции, сравнительная таблица расчетов)
6. Анализ результатов и выводы

Постановка задачи

Требуется решить задачу Коши:

(1) где ,               

используя неявный метод Эйлера, который выглядит следующим образом:

(2)

Точное решение данной задачи с вышеопределенными параметрами: 

Также необходимо:

1. Исследовать схему на точность и устойчивость
2. Найти решение уравнения теплопроводности в узлах сетки
3. Вывести на экран график решения и график точного решения.

Метод решения

Неявный метод Эйлера задается системой   Чтобы решить эту систему, введем обозначение: . Тогда получим, что

 (3) либо           

                (4)

При n=0 значения  задаются условиями из системы. Полагая известными знания , искомыми считают значения . Тогда  совокупность системы с одними из условий (3) или (4) – это система линейных  алгебраических уравнений (сеточных уравнений) для вычисления , а решение разностной задачи сводится к переходу с временного слоя n на временной слой n+1.

Для неявной схемы уравнения во внутренних узлах имеют вид

                                  (5)

где

Краевые условия могут быть приведены к виду

                                           (6)

В итоге, для определения вектора  получается система уравнений

MU=F                                                                     (7)

У матрицы М могут быть отличны от нуля лишь элементы так что М – трехдиагональная матрица. Элементы правой части F определяются как .

Решение системы (7) вычисляется методом прогонки, суть его в сведении системы уравнений с трехдиагональной матрицей к системе уравнений с двухдиагональной матрицей, т.е в приведении системы к виду

                                                     (8)

Коэффициенты  вычисляются по рекуррентным формулам

                    (9)

Начальные значения  вычисляются из краевых условий (6): . Так из условия в системе получаем, что

                                                                 (10)

а из условий (3)

                                       (11)

Для краевых условий (4), учитывая (5) при j=1,  получаем систему уравнений

Исключая из нее  и преобразуя к виду , определим .

Этап определения коэффициентов прогонки  называют прямой прогонкой, определение , из (8) – обратной прогонкой. Для осуществления ее необходимо знать , которое вычисляется из краевых условий задачи. Для условий, записанных в системе , для условий (3) оно определяется из системы уравнений

 исключением :

                                                 (12)

При условиях (4) значение  определяется из системы уравнений

исключением , .

Итак,  уравнение из системы запишется в таком виде: , и есть еще краевые условия .

Исследование порядка аппроксимации схемы и ее устойчивости

Вычислим погрешность аппроксимации и погрешность решения:

Уравнение для погрешности: . Выполним оценку:

 это верно для любого i. Следовательно : . А отсюда, используя то, что , получаем .

Таким образом, мы получили, что . То есть при  погрешность стремится к нулю со скоростью . Здесь  - любое.

Таким образом, мы показали, что неявный метод Эйлера безусловно устойчив.

Логическая схема или блок схема программы

      Описание тестовых расчетов (тестовые функции, сравнительная таблица расчетов

Анализ результатов и выводы

Список литературы

1.