Неявный метод Эйлера. Решение уравнения теплопроводности в узлах сетки

Новосибирский Государственный Университет

                                                                                 Выполнила: Сахно Алина гр.3114

Преподователь: Аверина Т.А.

Постановка задачи и математические методы ее реализации

Рассматривается задача нахождения решения системы:

при начальных и граничных данных:

с помощью неявного метода Эйлера:

Известно так же точное решение:  .

Необходимо  1.  Исследовать схему на точность и устойчивость

2.  Найти решение уравнения теплопроводности в узлах сетки

3.  Вывести на экран графики точного и численного решений на каждом временном слое.   

Неявный метод Эйлера задается системой

Поскольку метод неявный, то для нахождения решения исходной системы нужно решить СЛАУ на каждом временном слое. Матрица СЛАУ и столбец свободных коэффициентов восстанавливается по разностной схеме,  начальным и граничным данным, таким образом система имеет вид:

Решение системы  производится методом прогонки, который заключается в сведении системы уравнений с трехдиагональной матрицей к системе с двухдиагональной матрицей.                                       

Вычислим теперь погрешность аппроксимации и погрешность решения:

Мы получили, что , то есть при  погрешность стремится к нулю со скоростью . 

Таким образом, неявный метод Эйлера безусловно устойчив.

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

h – шаг сетки по x,  - шаг сетки по t

 - ошибка

Мы теоретически установили, что точность решения О, проверим это на практике:

Т.е. на самом деле при увеличении h в 2 раза ошибка увеличивается в 4 раза.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Ж.Л.Коробицына, Г.С.Хакимзянов: Практикум на ЭВМ по курсу «Методы вычислений». Часть1 Разностные схемы для уравнений в частных производных с одной пространственной переменной

2.  Лекции Лаевского Ю.М. по курсу «Методы вычислений»